Petites erreurs introduites par l'arithmétique en précision finie lors de la représentation des nombres réels et des opérations arithmétiques ; individuellement négligeables, elles peuvent s'accumuler, s'annuler ou interagir avec des algorithmes pour produire des écarts significatifs par rapport aux résultats exacts.

Principe

La longueur de mot finie et la représentation binaire (ou en base b) imposent une quantification et une troncature ; des opérations algorithmiques (soustraction de grandeurs proches, transformations mal conditionnées, accumulations répétées) amplifient ces minuscules différences en erreurs observables.

Démonstration

La sommation d'une longue liste de nombres à signes alternés en simple précision donne un résultat biaisé par rapport à la double précision ; des résolutions itératives linéaires avec matrices mal conditionnées montrent stagnation ou dérive due à l'accumulation des arrondis dans les mises à jour et le calcul des résidus.

Mauvaise application

Attribuer exclusivement l'échec d'un modèle à l'arrondi sans examiner les erreurs de troncature, de modélisation ou l'instabilité algorithmique ; augmenter la précision aveuglément alors qu'une reformulation algorithmique (par ex. sommation compensée, préconditionnement) serait plus efficace.

Conséquence

Reconnaître l'erreur d'arrondi conduit à des choix tels que l'utilisation d'une précision adaptée, d'algorithmes stables, de la sommation compensée, du redimensionnement et de l'amélioration du conditionnement ; l'ignorer peut provoquer des oscillations non physiques, une perte de signification ou un comportement de convergence incorrect.

Inversion

L'inverse est un comportement arithmétique exact où les effets de la précision finie sont négligeables devant les erreurs de modélisation ou de discrétisation ; les algorithmes numériques se comportent alors de manière déterministe par rapport à la représentation arithmétique.

Limite

S'applique aux calculs en virgule flottante et en virgule fixe dans les simulations, optimisations et algèbre linéaire ; sont exclus les erreurs de modélisation, les erreurs de troncature de discrétisation et les fautes machine (inversions de bit) qui ont des causes et des remèdes distincts.

Tension sémantique

Souvent confondue avec l'erreur de troncature : la troncature vient de l'approximation d'opérateurs ou de séries, l'arrondi vient de la représentation finie et de l'arithmétique ; les deux interagissent et doivent être équilibrés lors du choix de la précision et des algorithmes.

Synthèse

L'erreur d'arrondi est le bruit dû à l'arithmétique en précision finie qui peut croître via des opérations instables ou de longues accumulations ; la limiter exige des algorithmes numériquement stables, une précision appropriée et des pratiques logicielles conscientes des erreurs.