Pequeños errores introducidos por la aritmética de precisión finita al representar números reales y realizar operaciones; aunque cada uno es diminuto, pueden acumularse, cancelarse o interactuar con algoritmos para producir desviaciones significativas respecto al resultado exacto.

Principio

La longitud de palabra finita y la representación binaria (o en base b) imponen cuantización y truncamiento; operaciones algorítmicas (resta de magnitudes similares, transformadas mal condicionadas, acumulaciones repetidas) amplifican estas pequeñas discrepancias en errores observables.

Demostración

Sumar una larga lista de números con signos alternos en precisión simple ofrece un resultado sesgado frente a la doble precisión; resoluciones iterativas de sistemas lineales con matrices mal condicionadas muestran estancamiento o deriva por la acumulación de redondeos en actualizaciones y cálculos de residuo.

Aplicación incorrecta

Culpar exclusivamente al redondeo del fallo de un modelo sin examinar el truncamiento, el error de modelado o la inestabilidad algorítmica; aumentar la precisión a ciegas cuando una reformulación algorítmica (por ejemplo, sumación compensada, preacondicionamiento) sería más eficaz.

Consecuencia

Reconocer el error de redondeo conduce a elecciones como usar la precisión adecuada, algoritmos estables, sumación compensada, escalado y mejora del condicionamiento; ignorarlo puede producir oscilaciones no físicas, pérdida de significación o comportamiento de convergencia incorrecto.

Inversión

La inversión es el comportamiento en aritmética exacta en el que los efectos de la precisión finita son despreciables frente a los errores de modelado o discretización; la numérica entonces se comporta de forma determinista respecto a la representación aritmética.

Límite

Se aplica a cálculos en punto flotante y en punto fijo en simulaciones, optimizaciones y álgebra lineal; quedan excluidos errores de modelado, error de truncamiento por discretización y fallos de máquina (bit flips), que tienen causas y remedios distintos.

Tensión semántica

A menudo se confunde con error de truncamiento: el truncamiento proviene de aproximar operadores o series, el redondeo proviene de la representación y la aritmética finitas; ambos interactúan y deben equilibrarse al elegir precisión y algoritmos.

Síntesis

El error de redondeo es el ruido de la aritmética de precisión finita que puede crecer mediante operaciones inestables o largas acumulaciones; mitigarlo requiere algoritmos numérica mente estables, precisión apropiada y prácticas de software conscientes del error.