Une équation aux dérivées partielles (également appelée équation de Kolmogorov directe) qui gouverne l'évolution temporelle de la densité de probabilité d'un processus de diffusion markovien en codant les termes de dérive et de diffusion (bruit).

Principe

Elle exprime la conservation de la probabilité sous l'action d'un générateur : l'advection de la densité par la dérive déterministe et l'étalement par la diffusion ; équivalente au niveau d'ensemble aux équations stochastiques de type Langevin.

Démonstration

Solution explicite pour le processus d'Ornstein–Uhlenbeck : densités gaussiennes avec moyenne et variance évoluant analytiquement ; dérive gradient dans un potentiel quadratique donne des densités d'équilibre de type Maxwell–Boltzmann illustrant la relaxation vers l'état stationnaire.

Mauvaise application

Employer l'équation de Fokker–Planck classique pour des processus à sauts, des statistiques à queues lourdes de type Lévy ou des dynamiques fortement non markoviennes sans remplacer la diffusion par des opérateurs fractionnaires ou non locaux adéquats produit des prédictions erronées.

Conséquence

Lorsque valable, l'équation de Fokker–Planck fournit les densités temporelles, les distributions stationnaires, l'information spectrale sur les taux de relaxation et une méthode pour calculer moments, flux et propriétés de grandes déviations.

Inversion

L'équation de Kolmogorov arrière (backward) porte sur l'évolution des espérances conditionnelles et non des densités ; l'équation de Liouville est le pendant déterministe (bruit nul) décrivant le transport dans l'espace des phases sans diffusion.

Limite

S'applique aux processus de diffusion à trajectoires continues avec coefficients de dérive et de diffusion suffisamment réguliers et conditions aux bords bien posées ; exclut les processus à sauts, les chaînes de Markov à états discrets et les dynamiques fortement non markoviennes sauf extensions adéquates.

Tension sémantique

Tension entre le point de vue Fokker–Planck (PDE, description d'ensemble) et le point de vue Langevin (trajectoires) : sous hypothèses ils sont équivalents, mais ils mènent à des stratégies d'approximation différentes ; tension aussi avec les équations maîtresses pour processus à sauts.

Synthèse

L'équation de Fokker–Planck traduit des dynamiques stochastiques en une PDE déterministe pour les densités de probabilité, codant dérive et diffusion afin d'analyser le comportement probabiliste transitoire et stationnaire, la relaxation spectrale et les flux macroscopiques.