Una ecuación en derivadas parciales (también llamada ecuación de Kolmogorov hacia adelante) que gobierna la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad de un proceso de difusión markoviano, codificando términos de deriva y difusión (ruido).

Principio

Expresa la conservación de probabilidad bajo la acción de un generador: advección de la densidad por la deriva determinista y dispersión por difusión; es la representación a nivel de conjunto de las ecuaciones estocásticas de tipo Langevin.

Demostración

Solución explícita para el proceso Ornstein–Uhlenbeck: densidades gaussianas con media y varianza que evolucionan analíticamente; una deriva de gradiente en un potencial cuadrático da distribuciones de equilibrio tipo Maxwell–Boltzmann que ilustran la relajación hacia el estado estacionario.

Aplicación incorrecta

Usar la ecuación de Fokker–Planck clásica para procesos con saltos, colas pesadas tipo Lévy o memoria no markoviana pronunciada, sin sustituir la difusión por operadores fraccionarios o no locales adecuados, produce dinámicas incorrectas.

Consecuencia

Cuando es válida, la ecuación de Fokker–Planck proporciona densidades dependientes del tiempo, distribuciones estacionarias, información espectral sobre tasas de relajación y una vía para calcular momentos, flujos y propiedades de grandes desviaciones.

Inversión

La ecuación de Kolmogorov hacia atrás (backward) se centra en la evolución de expectativas de transición en lugar de densidades; la ecuación de Liouville es el análogo determinista (sin ruido) que describe el transporte en el espacio de fases sin difusión.

Límite

Se aplica a procesos de difusión de trayectorias continuas con coeficientes de deriva y difusión suficientemente suaves y condiciones de contorno bien planteadas; excluye procesos con saltos, cadenas de Markov de estado discreto y dinámicas fuertemente no markovianas salvo extensiones adecuadas.

Tensión semántica

Tensión entre la visión Fokker–Planck (PDE, descripción de conjunto) y la visión Langevin (trayectorias): bajo supuestos son equivalentes pero conducen a estrategias de aproximación distintas; tensión también con ecuaciones maestras para procesos de salto.

Síntesis

La ecuación de Fokker–Planck traduce dinámicas estocásticas en una PDE determinista para densidades de probabilidad, codificando deriva y difusión para analizar comportamiento probabilístico transitorio y estacionario, relajación espectral y flujos macroscópicos.