Une relation fonctionnelle entre fréquence temporelle et nombre d'onde spatial (ou leurs vecteurs) pour les solutions ondulatoires d'un modèle, qui détermine comment chaque composante de Fourier se propage (vitesse de phase et de groupe) et si le milieu est dispersif.

Principe

Pour des équations linéaires homogènes, l'insertion d'ondes planes donne une équation algébrique liant la fréquence et le nombre d'onde ; la loi ω(k) (ou k(ω)) encode vitesse de propagation, dispersion, coupures et instabilités.

Démonstration

L'équation d'onde unidimensionnelle donne ω = c k (non dispersif : vitesses de phase et de groupe égales à c), tandis que l'équation de Schrödinger libre donne ω ∝ k^2, entraînant dispersion et étalement des paquets d'ondes.

Mauvaise application

Utiliser une relation de dispersion dérivée d'une approximation linéaire pour prévoir le comportement à longue durée dans un milieu fortement non linéaire, ou appliquer la relation continue sans modification à un réseau discret où l'aliasing et les zones de Brillouin modifient ω(k).

Conséquence

Connaître la relation de dispersion permet de prédire vitesse de phase, vitesse de groupe, taux de dispersion des paquets d'ondes, existence de bandes interdites ou fréquences de coupure, et stabilité linéaire des modes.

Inversion

En inversant la perspective, résoudre k(ω) met l'accent sur les modes spatiaux permis à fréquence donnée ; la limite non dispersive (ω linéaire en k) est le cas particulier où il n'y a pas d'étalement et où vitesses de phase et de groupe coïncident.

Limite

S'applique aux modèles ondulatoires linéaires (EDP, systèmes linéarisés) et aux milieux homogènes ou faiblement inhomogènes à l'échelle considérée ; elle ne s'applique pas directement aux milieux fortement non linéaires, aléatoires ou non locaux sans généralisation.

Tension sémantique

Tension entre la relation de dispersion et les fonctions de transfert spectrales empiriques ou densités de puissance : ω(k) décrit les propriétés de propagation modale, tandis que les spectres décrivent les amplitudes d'excitation et peuvent masquer la dispersion si l'énergie est concentrée.

Synthèse

La relation de dispersion ω(k) encode de façon compacte l'évolution des components en ondes planes d'un modèle : outil central pour prédire vitesses de propagation, dispersion des paquets, bandes fréquentielles et stabilité linéaire, sous réserves de linéarité et d'échelle.