Una relación funcional entre la frecuencia temporal y el número de onda espacial (o sus vectores) para soluciones ondulatorias de un modelo, que determina cómo se propagan en fase y grupo las componentes de Fourier y si el medio es dispersivo.

Principio

Para ecuaciones lineales homogéneas, sustituir ondas planas conduce a una ecuación algebraica que vincula frecuencia y número de onda; la ley ω(k) (o k(ω)) codifica velocidades de propagación, dispersión, cortes y posibles inestabilidades.

Demostración

La ecuación de onda unidimensional da ω = c k (no dispersiva: velocidades de fase y grupo iguales a c), mientras que la ecuación libre de Schrödinger da ω ∝ k^2, provocando dispersión y ensanchamiento de paquetes de onda.

Aplicación incorrecta

Aplicar una relación de dispersión derivada de una aproximación lineal para predecir comportamiento a largo plazo en un medio fuertemente no lineal, o usar la relación de un continuo sin modificar en una red discreta donde el aliasing y las zonas de Brillouin alteran ω(k).

Consecuencia

Conocer la relación de dispersión permite predecir velocidad de fase, velocidad de grupo, tasas de dispersión de paquetes, existencia de bandas prohibidas o frecuencias de corte y estabilidad lineal de modos.

Inversión

Visto al revés, resolver para k(ω) enfatiza los modos espaciales permitidos a frecuencia fija; el límite no dispersivo (ω lineal en k) es el caso en el que no hay ensanchamiento y las velocidades de fase y grupo coinciden.

Límite

Se define para modelos ondulatorios lineales (EDP, sistemas linealizados) y medios homogéneos o débilmente inhomogéneos a la escala considerada; no se aplica directamente a medios fuertemente no lineales, aleatorios o no locales sin la generalización adecuada.

Tensión semántica

Tensión entre la relación de dispersión y funciones de transferencia espectrales empíricas o densidades de potencia: ω(k) describe propiedades de propagación modal, mientras que los espectros describen amplitudes de excitación y pueden ocultar efectos de dispersión si la energía está concentrada.

Síntesis

Una relación de dispersión ω(k) codifica de forma compacta cómo evolucionan las componentes en ondas planas de un modelo: herramienta central para predecir velocidades de propagación, dispersión de paquetes, estructuras de bandas y estabilidad lineal, con suposiciones sobre linealidad y escala.