Une estimation du nombre minimal de degrés de liberté ou de paramètres indépendants nécessaires pour représenter localement des données ou une variété de solutions, reflétant souvent la dimension topologique ou géométrique locale plutôt que la dimension ambiante.

Principe

La structure locale peut être approchée par une paramétrisation de plus faible dimension : la dimension intrinsèque compte les directions indépendantes de variabilité locales suffisantes pour reconstruire les voisinages locaux à une erreur acceptable.

Démonstration

Des points échantillonnés sur une surface lisse bidimensionnelle plongée dans R^3 ont une dimension intrinsèque de 2 : localement un plan tangent à deux coordonnées paramétrise les voisinages, bien que la dimension ambiante soit 3.

Mauvaise application

Confondre dimension intrinsèque et dimension ambiante, ou traiter une dimension linéaire globale (ACP) comme la dimension intrinsèque d'une variété fortement courbe ou à plusieurs échelles ; ou rapporter un unique nombre global alors que la dimension locale varie.

Conséquence

Estimer la dimension intrinsèque oriente le choix du modèle, la densité d'échantillonnage, la sélection de coordonnées réduites et la régularisation ; une bonne estimation réduit la complexité du modèle et améliore la généralisation.

Inversion

La vue inverse est la dimension extrinsèque ou ambiante : compter toutes les coordonnées de l'espace d'immersion plutôt que les degrés de liberté locaux minimaux, ce qui peut surestimer la complexité nécessaire.

Limite

La dimension intrinsèque a du sens localement et pour des structures se comportant comme des variétés à l'échelle considérée ; elle exclut les jeux de données fractals ou fortement bruités sans séparation d'échelle, et différentes définitions (topologique, de Hausdorff, de corrélation) peuvent diverger.

Tension sémantique

Tension entre dimension de variété (topologique), dimensions fractales (Hausdorff) et dimensions 'effectives' algorithmiques (nombre d'autovalues importantes en ACP) : chacune capture une notion différente de « dimension ».

Synthèse

La dimension intrinsèque est le nombre local minimal de coordonnées indépendantes nécessaires pour décrire la variabilité sur une variété de données ou de solutions ; quantité dépendante de l'échelle et de la définition, utile pour la réduction de dimension et la modélisation.