Una estimación del número mínimo de grados de libertad o parámetros independientes necesarios para representar localmente datos o una variedad de soluciones, reflejando a menudo la dimensión topológica o geométrica local en lugar del espacio ambiental.

Principio

La estructura local puede aproximarse mediante una parametrización de menor dimensión: la dimensión intrínseca cuenta las direcciones independientes de variabilidad local que bastan para reconstruir vecindades locales con un error aceptable.

Demostración

Puntos muestreados de una superficie suave bidimensional embebida en R^3 tienen dimensión intrínseca 2: localmente un plano tangente con dos coordenadas parametriza los vecindarios, aunque la dimensión ambiental sea 3.

Aplicación incorrecta

Confundir dimensión intrínseca con dimensión ambiental o usar métodos lineales globales (PCA) como si dieran la dimensión intrínseca de una variedad fuertemente curvada o multiescala; o reportar un único valor global cuando la dimensión local varía.

Consecuencia

Conocer la dimensión intrínseca guía la selección de modelos, densidad de muestreo, elección de coordenadas reducidas y regularización; una estimación correcta reduce complejidad y mejora la generalización.

Inversión

La visión inversa es la dimensión extrínseca o ambiental: contar todas las coordenadas del espacio de embebido en vez de los grados de libertad locales mínimos, lo que puede sobrestimar la complejidad necesaria.

Límite

La dimensión intrínseca tiene sentido a nivel local y para estructuras que se comportan como variedades a la escala considerada; excluye conjuntos fractales o muy ruidosos sin separación de escalas, y distintas definiciones (topológica, de Hausdorff, de correlación) pueden no coincidir.

Tensión semántica

Tensión entre dimensión de variedad (topológica), dimensiones fractales (Hausdorff) y dimensiones 'efectivas' algorítmicas (p. ej. número de autovalores significativos en PCA): cada una captura una noción distinta de 'dimensión'.

Síntesis

La dimensión intrínseca es el número local mínimo de coordenadas independientes necesario para describir la variabilidad en una variedad de datos o soluciones; depende de la escala y la definición y orienta la reducción de dimensión y el diseño de modelos.