Un ensemble de transformations linéaires ou non linéaires appliquées à un problème numérique — généralement un système linéaire ou un problème aux valeurs propres — visant à modifier ses propriétés algébriques (distribution spectrale, conditionnement) afin d'améliorer la vitesse ou la stabilité de convergence des solveurs itératifs.

Principe

Introduire un préconditionneur M (ou transformer les variables) de sorte que l'opérateur transformé M^{-1}A (ou M^{-1}AM^{-T}, ou équivalent) présente un spectre ou un nombre de conditionnement plus favorable, réduisant le nombre d'itérations ou améliorant la stabilité numérique des méthodes itératives.

Démonstration

Résoudre Ax = b avec la méthode du gradient conjugué en utilisant un préconditionneur de type factorizations incomplètes (Cholesky incomplète) : construire une factorisation approximative M ≈ A réduit le nombre de conditionnement de M^{-1}A et diminue généralement fortement le nombre d'itérations de CG par rapport à l'absence de préconditionneur.

Mauvaise application

Utiliser un préconditionneur coûteux ou mal adapté dont le coût de construction et la mémoire dépassent les gains en itérations, ou appliquer un préconditionneur non symétrique à une méthode exigeant la symétrie, entraînant des ruptures ou une convergence incorrecte.

Conséquence

Un préconditionnement approprié réduit le temps de calcul et l'utilisation mémoire en diminuant le nombre d'itérations et en améliorant la robustesse numérique ; il peut introduire un coût de préparation, une erreur d'approximation ou une complexité d'implémentation qui doivent être compensés par un gain net.

Inversion

L'absence de préconditionnement (préconditionneur identité) laisse le spectre et le conditionnement d'origine, ce qui pour des problèmes mal conditionnés entraîne une convergence lente ou nulle ; inversement, un préconditionnement excessif peut introduire un biais ou une instabilité.

Limite

S'applique principalement aux solveurs itératifs pour systèmes linéaires, problèmes aux valeurs propres et sous-problèmes d'optimisation ; il ne remplace pas la factorisation directe lorsque des résolutions exactes sont requises, et son utilité dépend de la structure du problème et de la compatibilité du solveur.

Tension sémantique

Tension avec les techniques de mise à l'échelle et de déflation : la mise à l'échelle change l'amplitude des variables pour améliorer le conditionnement, la déflation enlève des sous-espaces invariants problématiques, tandis que le préconditionnement englobe et combine parfois ces idées mais diffère par l'implémentation et les objectifs.

Synthèse

Le préconditionnement modifie de manière systématique la forme algébrique d'un problème numérique pour obtenir un opérateur transformé aux propriétés spectrales améliorées, rendant ainsi les solveurs itératifs plus rapides et plus fiables lorsque le préconditionneur est bien adapté au problème.