Eine Reihe linearer oder nichtlinearer Transformationen, die auf ein numerisches Problem — üblicherweise ein lineares Gleichungssystem oder ein Eigenwertproblem — angewendet werden, um dessen algebraische Eigenschaften (Spektralverteilung, Kondition) zu verändern, sodass iterative Löser schneller oder stabiler konvergieren.

Prinzip

Einen Präconditioner M (oder eine Variablenumkehr) einführen, so dass der transformierte Operator M^{-1}A (oder M^{-1}AM^{-T}, bzw. äquivalent) eine günstigere Spektralstruktur oder Konditionszahl besitzt, wodurch Iterationszahlen reduziert und numerische Stabilität verbessert werden.

Demonstration

Lösen von Ax = b mit dem Konjugierten-Gradienten-Verfahren unter Verwendung einer unvollständigen Cholesky-Preconditionierung: Die Konstruktion einer approximativen Faktorisierung M ≈ A reduziert die Konditionszahl von M^{-1}A und verringert typischerweise deutlich die Anzahl der CG-Iterationen gegenüber keinem Präconditioner.

Fehlanwendung

Verwendung eines teuren oder schlecht passenden Präconditioners, dessen Aufbau- und Speicheraufwand die Einsparungen bei den Iterationen übersteigt, oder Anwendung eines unsymmetrischen Präconditioners bei einer Methode, die Symmetrie verlangt, was zu Abbrüchen oder falscher Konvergenz führt.

Konsequenz

Geeignete Präconditionierung reduziert Laufzeit und Speicherbedarf durch niedrigere Iterationszahlen und verbesserte numerische Robustheit; sie kann jedoch Aufbaukosten, Approximationsfehler oder zusätzliche Implementierungskomplexität einführen, die durch den Nettogewinn gerechtfertigt sein müssen.

Umkehrung

Kein Präconditioner (Identitätspräconditioner) belässt das ursprüngliche Spektrum und die Kondition, was bei schlecht konditionierten Problemen zu langsamer oder ausbleibender Konvergenz führt; übertriebene Präconditionierung kann hingegen Verzerrungen oder Instabilität verursachen.

Abgrenzung

Gilt vornehmlich für iterative Löser von linearen Systemen, Eigenwertproblemen und Optimierungsuntermethoden; ersetzt keine direkte Faktorisierung, wenn exakte Lösungen erforderlich sind, und sein Nutzen hängt von Problemstruktur und Löserkompatibilität ab.

Semantische Spannung

Spannung mit Skalierungs- und Deflationstechniken: Skalierung verändert die Variablegrößen zur Verbesserung der Kondition, Deflation entfernt problematische invariant Subräume, während Präconditionierung diese Konzepte teilweise umfasst und unterschiedlich umsetzt.

Synthese

Präconditionierung verändert systematisch die algebraische Form eines numerischen Problems, um einen transformierten Operator mit verbesserten spektralen Eigenschaften zu erzeugen, wodurch iterative Löser bei geeigneter Wahl des Präconditioners schneller und zuverlässiger werden.