Une équation aux dérivées partielles exprimant le bilan local d'une quantité conservée, généralement écrite sous la forme dérivée temporelle d'une densité plus divergence de son flux égale à zéro (ou à un terme source), garantissant que la quantité ne change que par transport et sources/puits.

Principe

Conservation locale : ce qui sort d'un volume de contrôle doit apparaître comme flux à travers sa frontière ou comme sources/puits locaux ; ce principe engendre des EDP qui gouvernent la masse, la quantité de mouvement, l'énergie, la charge et d'autres champs conservés.

Démonstration

Équation de continuité pour la masse en mécanique des fluides : ∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0 ; équation de Burgers comme loi de conservation scalaire non linéaire : ∂u/∂t + ∂(u^2/2)/∂x = 0 ; les équations d'Euler pour l'écoulement compressible expriment la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie avec les vecteurs de flux correspondants.

Mauvaise application

Traiter un processus avec échanges non locaux ou à mémoire significatifs comme une loi de conservation locale sans termes additionnels (par ex. omettre un terme source/puit ou de transport non local) produit des modèles violant les bilans observés ; utiliser une forme conservative pour une grandeur physiquement non conservée conduit à des invariants erronés.

Conséquence

La forme de loi de conservation impose la conservation intégrale sur tout volume de contrôle et sous-tend les méthodes numériques en volumes finis ; elle contraint les solutions faibles admissibles et la formation de chocs via les conditions d'entropie et les relations de Rankine–Hugoniot.

Inversion

De l'EDP à l'énoncé intégral de conservation : intégrer une loi de bilan sur un volume de contrôle fixe donne une équation différentielle ordinaire pour la quantité totale conservée et clarifie les contributions de flux et de sources.

Limite

S'applique aux grandeurs conservées selon la physique supposée et aux échelles où la divergence du flux représente le transport ; exclut les énoncés de bilan purement phénoménologiques sans interprétation claire de conservation et les processus dominés par des interactions non locales sauf s'ils sont explicitement modélisés.

Tension sémantique

Tension entre la forme conservative des EDP (structure de divergence de flux) et des formulations alternatives comme les équations de diffusion paraboliques ou les modèles integro-différentiels qui représentent le transport différemment ; aussi tension entre solutions fortes (classiques) et solutions faibles (distributionnelles) admettant des chocs.

Synthèse

Une loi de conservation est une EDP qui encode le principe de conservation locale : l'évolution temporelle d'une densité est gouvernée par la divergence d'un flux et des sources, ce qui produit des invariants intégrales, gouverne la dynamique des ondes et chocs, et dicte les méthodes numériques et critères d'admissibilité des solutions.