Eine partielle Differentialgleichung, die den lokalen Bilanzsatz einer konservierten Größe ausdrückt, üblicherweise in der Form Zeitableitung einer Dichte plus Divergenz ihres Flusses gleich null (oder einem Quellterm), und sicherstellt, dass sich die Größe nur durch Transport und Quellen/Senken ändert.

Prinzip

Lokale Erhaltung: Was ein Kontrollvolumen verliert, muss als Fluss durch seine Grenze erscheinen oder als lokale Quelle/Senke vorhanden sein; dieses Prinzip führt zu PDEs, die Masse, Impuls, Energie, Ladung und andere konservierte Felder regeln.

Demonstration

Kontinuitätsgleichung für Masse in der Fluidmechanik: ∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0; Burgers-Gleichung als nichtlineare skalare Erhaltungsgleichung: ∂u/∂t + ∂(u^2/2)/∂x = 0; die Euler-Gleichungen für kompressible Strömung drücken Erhaltung von Masse, Impuls und Energie mit zugehörigen Flussvektoren aus.

Fehlanwendung

Ein Prozess mit signifikanter nichtlokaler Austauschs oder Gedächtniseffekten als lokale Erhaltungsgleichung ohne zusätzliche Terme zu behandeln (z. B. Quellen/Senken oder nichtlokalen Transport zu ignorieren) führt zu Modellen, die beobachtete Bilanzen verletzen; die konservative Form anzuwenden, wenn die physikalische Größe nicht erhalten ist, ergibt falsche Invarianten.

Konsequenz

Die Erhaltungsform erzwingt integrale Erhaltung über jedes Kontrollvolumen und bildet die Grundlage für finiten Volumen‑Methoden; sie schränkt zulässige schwache Lösungen ein und bestimmt Schockbildung über Entropiebedingungen und Rankine–Hugoniot‑Relationen.

Umkehrung

Vom PDE zur integralen Erhaltungsaussage: Durch Integration einer Bilanzgleichung über ein festes Kontrollvolumen ergibt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Gesamtmenge der konservierten Größe und die Rolle von Flüssen und Quellen wird klarer.

Abgrenzung

Gilt für Größen, die nach angenommener Physik erhalten sind, und für Skalen, auf denen Divergenz des Flusses Transport darstellt; schließt rein phänomenologische Bilanzausdrücke ohne klare Erhaltungssicht aus und Prozesse, die von nichtlokalen Wechselwirkungen dominiert werden, sofern sie nicht explizit modelliert sind.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der konservativen PDE‑Form (Divergenzstruktur des Flusses) und alternativen Formulierungen wie parabolischen Diffusionsgleichungen oder integro‑differenziellen Modellen, die Transport anders repräsentieren; ebenso Spannung zwischen starken (klassischen) und schwachen (distributionellen) Lösungen, die Schocks erlauben.

Synthese

Ein Erhaltungsgesetz ist eine PDE, die das Prinzip der lokalen Erhaltung kodiert: Die zeitliche Entwicklung einer Dichte wird durch die Divergenz eines Flusses und Quellen bestimmt, was zu integralen Invarianten führt, die Well‑ und Schockdynamik steuert und die geeigneten numerischen Methoden und Zulässigkeitskriterien der Lösungen festlegt.