Une fonction à valeurs complexes, généralement notée H(s) ou H(jω), qui relie algébriquement la transformée de l'entrée à la transformée de la sortie d'un système linéaire et invariant par translation (LIT) ; elle encode pôles, zéros et gains dans le domaine complex-fréquence.

Principe

Représenter la dynamique LIT par un rapport algébrique des transformées sortie/entrée afin que les propriétés analytiques (pôles, zéros, résidus) déterminent la stabilité, la réponse transitoire et l'état permanent.

Démonstration

Un filtre passe-bas RC du premier ordre possède la fonction de transfert H(s) = 1/(1 + RC s), qui prédit des réponses transitoires exponentielles à partir du pôle s = −1/(RC) et une atténuation de −20 dB/décade aux hautes fréquences.

Mauvaise application

Employer une fonction de transfert dérivée sous les hypothèses de linéarité et d'invariance temporelle pour prédire la réponse d'un système non linéaire ou variant dans le temps, ou utiliser H(s) sans tenir compte de la région de convergence, conduit à des erreurs sur la causalité ou la stabilité.

Conséquence

Lorsqu'elle est valable, la fonction de transfert permet de calculer algébriquement la réponse en fréquence, de déterminer la stabilité via l'emplacement des pôles, de synthétiser des correcteurs par placement pôles-zéros et d'obtenir la réponse impulsionnelle par transformée inverse.

Inversion

En domaine temporel, le concept inverse est le noyau de convolution (réponse impulsionnelle) : la convolution temporelle avec les entrées reproduit le même comportement entrée–sortie ; la représentation en espace d'états est une alternative plus générale lorsque les dynamiques internes sont importantes.

Limite

S'applique aux systèmes linéaires et invariants par translation ou aux modèles linéarisés ; les fonctions de transfert rationnelles supposent des dynamiques de dimension finie et stationnaires et peuvent nécessiter une extension en distributions pour des singularités ou des délais ; non applicable directement aux opérateurs non linéaires ou variant dans le temps sans linéarisation.

Tension sémantique

La tension vient de la différence d'accent entre la fonction de transfert (objet algébrique en fréquence complexe) et les descriptions en espace d'états (temps, états internes) : mêmes comportements LIT mais focalisations différentes ; autre tension : fonction de transfert sur le plan s complet versus sa restriction à l'axe imaginaire (réponse en fréquence).

Synthèse

La fonction de transfert est l'encodage algébrique compact de la loi entrée–sortie d'un système LIT dans le domaine complex-fréquence : pôles et zéros résument comment le système amplifie, atténue et décale en phase les signaux, et les transformées inverses restituent le noyau temporel de convolution.