Eine komplexwertige Funktion, üblicherweise H(s) oder H(jω), die die Transformierte der Eingabe algebraisch der Transformierten der Ausgabe für ein lineares zeitinvariantes (LTI) System zuordnet; sie kodiert Pole, Nullstellen und Verstärkungen im komplexen Frequenzbereich.

Prinzip

Die Dynamik eines LTI-Systems durch ein algebraisches Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangs-Transformationen darstellen, sodass analytische Eigenschaften (Pole, Nullstellen, Residuen) Stabilität, Transienten und stationäres Verhalten bestimmen.

Demonstration

Ein RC-Tiefpass erster Ordnung hat die Übertragungsfunktion H(s) = 1/(1 + RC s). Der Pol bei s = −1/(RC) erklärt exponentielle Abklingvorgänge; bei hohen Frequenzen ergibt sich eine Dämpfung von −20 dB/Dekade.

Fehlanwendung

Eine unter Linearität und Zeitinvarianz abgeleitete Übertragungsfunktion auf nichtlineare oder zeitvariierende Systeme anzuwenden oder H(s) ohne Beachtung der Konvergenzregion zu verwenden, führt zu falschen Aussagen über Kausalität oder Stabilität.

Konsequenz

Ist sie anwendbar, ermöglicht die Übertragungsfunktion die algebraische Berechnung der Frequenzantwort, die Stabilitätsbestimmung über Polstellen, die Regelentwurf durch Pol-Nullstellen-Platzierung und die Bestimmung der Impulsantwort durch inverse Transformationen.

Umkehrung

Im Zeitbereich ist das Gegenstück die Faltungskern (Impulsantwort), durch deren Faltung mit Eingängen dasselbe Ein-/Ausgangsverhalten reproduziert wird; Zustandsraumdarstellungen sind eine allgemeinere Alternative, wenn interne Dynamik relevant ist.

Abgrenzung

Gilt für lineare, zeitinvariante Systeme oder linearisierten Modelle; rationale Übertragungsfunktionen setzen endlichdimensionale, zeitinvariante Dynamik voraus und müssen für Systeme mit Singularitäten oder Verzögerungen gegebenenfalls distributionsmäßig erweitert werden; nicht unmittelbar anwendbar auf inhärent nichtlineare oder zeitvariante Operatoren ohne Linearisierung.

Semantische Spannung

Spannungen entstehen zwischen der Übertragungsfunktion (algebraisches Objekt im komplexen s-Bereich) und Zustandsraumdarstellungen (zeitliche, interne Perspektive): gleiche LTI-Verhaltensbeschreibung, unterschiedliche Betonung; weitere Spannung besteht zwischen der Übertragungsfunktion über die ganze s-Ebene und ihrer Einschränkung auf die imaginäre Achse (Frequenzantwort).

Synthese

Die Übertragungsfunktion ist die kompakte algebraische Darstellung der Ein-/Ausgangsabbildung eines LTI-Systems im komplexen Frequenzraum: Pole und Nullstellen fassen zusammen, wie das System Signale verstärkt, dämpft und phasenverschiebt; inverse Transformationen liefern den zeitlichen Faltungskern.