Une relation binaire sur un ensemble qui est réflexive, symétrique et transitive ; elle partitionne l'ensemble en classes d'équivalence disjointes dont les membres sont indiscernables pour la relation.

Principe

Définir un critère d'indiscernabilité en imposant la réflexivité (chaque élément se relaie à lui-même), la symétrie (la relation est réciproque) et la transitivité (la relation se propage), de sorte que les classes forment une partition.

Démonstration

Sur les entiers Z, définir a ~ b si et seulement si a − b est divisible par n ; la congruence modulo n est réflexive, symétrique et transitive, et Z se décompose en n classes d'équivalence indexées par les restes 0,...,n−1.

Mauvaise application

Qualifier une relation d'équivalence alors qu'elle manque l'une des trois propriétés (par exemple supposer la symétrie lorsqu'il n'y a qu'antisymétrie) conduit à des constructions de quotients invalides et à des classifications erronées.

Conséquence

Donne lieu à un ensemble quotient de classes d'équivalence ; la projection canonique envoie chaque élément sur sa classe et de nombreuses constructions (groupes quotient, espaces quotients) dépendent de cette partition.

Inversion

La notion inverse est un ordre partiel ou un préordre : supprimer la symétrie et la remplacer par l'antisymétrie (ou omettre la symétrie) produit des structures de type ordre plutôt qu'une partition en classes symétriques.

Limite

Exige un ensemble sous-jacent unique et les trois propriétés ; les relations entre ensembles distincts, les préordres unilatéraux, les mesures de similarité sans transitivité ou les similarités probabilistes sont hors de ce cadre.

Tension sémantique

Tension entre équivalence (indiscernabilité catégorique) et notions de similarité ou de distance : deux éléments peuvent être « proches » sans satisfaire les exigences strictes de transitivité et de symétrie d'une équivalence.

Synthèse

Une relation d'équivalence est le dispositif formel qui effondre un ensemble en classes disjointes d'éléments indiscernables en imposant réflexivité, symétrie et transitivité, permettant des quotients canoniques et des descriptions réduites.