Una relación binaria sobre un conjunto que es reflexiva, simétrica y transitiva; particiona el conjunto en clases de equivalencia disjuntas cuyos miembros son indistinguibles respecto de la relación.

Principio

Definir un criterio de indistinguibilidad imponiendo reflexividad (cada elemento se relaciona consigo mismo), simetría (la relación es mutua) y transitividad (la relación se propaga), de modo que las clases formen una partición.

Demostración

En los enteros Z, definir a ~ b si y solo si a − b es divisible por n; esta congruencia módulo n es reflexiva, simétrica y transitiva, y Z se divide en n clases de equivalencia etiquetadas por los residuos 0,...,n−1.

Aplicación incorrecta

Llamar equivalencia a una relación que carece de alguna de las tres propiedades (por ejemplo asumir simetría cuando solo existe antisimetría) conduce a construcciones de cociente inválidas y clasificaciones erróneas.

Consecuencia

Produce un conjunto cociente de clases de equivalencia; la proyección canónica envía elementos a su clase y muchas construcciones (grupos cociente, espacios factor) dependen de esta partición.

Inversión

La noción inversa es un orden parcial o un preorden: suprimir la simetría o sustituirla por antisimetría da lugar a estructuras tipo orden en lugar de particionar en clases simétricas.

Límite

Requiere un conjunto subyacente único y las tres propiedades; las relaciones entre conjuntos distintos, los preórdenes unilaterales, medidas de similitud sin transitividad o similitudes probabilísticas quedan fuera de este ámbito.

Tensión semántica

Existe tensión entre equivalencia (indistinguibilidad categórica) y nociones de similitud o distancia: dos elementos pueden estar 'cerca' sin satisfacer las condiciones estrictas de transitividad y simetría de una equivalencia.

Síntesis

Una relación de equivalencia es el mecanismo formal que colapsa un conjunto en clases disjuntas de elementos indistinguibles imponiendo reflexividad, simetría y transitividad, permitiendo cocientes canónicos y descripciones reducidas.