Une application continue surjective p : E -> B telle que chaque point b de B possède un voisinage ouvert U pour lequel p^{-1}(U) est une réunion disjointe d'ouverts de E, chacun mappé homéomorphiquement sur U ; ces tranches homéomorphes sont appelées feuillets et p est une projection de revêtement.

Principe

L'idée organisatrice est la trivialité locale à fibres discrètes : un revêtement est un homéomorphisme local particulier dont les fibres sont discrètes et présentées de manière uniforme sur des voisinages couvert répartis, permettant le relèvement des chemins et des homotopies et établissant un lien avec le groupe fondamental via les transformations de feuillet (deck).

Démonstration

La carte exponentielle R -> S^1, t -> e^{2πit}, est le revêtement prototype : chaque point du cercle a un voisinage en arc dont l'image réciproque est une réunion disjointe d'intervalles dans R, chacun mappé homéomorphiquement ; les revêtements universels fournissent des recouvrements simplement connexes pour les espaces connexes par arcs, localement connexes par arcs et semi-localement simplement connexes.

Mauvaise application

Prendre tout homéomorphisme local pour un revêtement ou appliquer des arguments d'espace recouvrant sur des espaces dépourvus de connexité par arcs locale ou de semi-local simple connexité peut échouer ; de même, supposer que tout revêtement est régulier (galoisien) est incorrect sans symétrie des transformations de feuillet.

Conséquence

Identifier correctement un revêtement donne des outils puissants : relèvement unique des chemins, classification des revêtements par sous-groupes du groupe fondamental, transfert de propriétés topologiques entre base et recouvrement, et construction de revêtements universels pour des calculs algébro-topologiques.

Inversion

L'opposé conceptuel est constitué par les applications quotient qui identifient des points de manière non locale ou les fibrés à fibres non discrètes : au lieu de feuillets discrets et uniformes, ces notions inverses collent ou effondrent de la structure et empêchent le relèvement et les transformations de feuillet.

Limite

Les revêtements exigent des hypothèses topologiques permettant la couverture uniforme (habituellement connexité par arcs locale et semi-local simple connexité pour la classification) ; ils excluent les applications à fibres non discrètes ou comportant du branchement (les revêtements branchés relèvent d'une formalisation différente).

Tension sémantique

Le revêtement est proche mais distinct du fibré et de l'homéomorphisme local : tout revêtement est un homéomorphisme local et un fibré de fibres 0-dimensionnelles, mais il se distingue des fibrés généraux par la discrétion des fibres et des homéomorphismes locaux arbitraires par la structure globale en feuillets et les propriétés de relèvement.

Synthèse

Un revêtement est une trivialisation locale en feuillets discrets d'un espace au-dessus d'un autre : il fournit des voisinages uniformément couverts permettant le relèvement des chemins et des homotopies, se relie à la structure du groupe fondamental via les transformations de feuillet et exclut le branchement ou les fibres non discrètes.