Una aplicación continua y suprayectiva p : E -> B tal que cada punto b en B tiene una vecindad abierta U para la cual p^{-1}(U) es una unión disjunta de conjuntos abiertos en E, cada uno mapeado homeomórficamente sobre U; esas porciones homeomorfas se llaman hojas y p se denomina proyección de recubrimiento.

Principio

La idea organizadora es la trivialidad local con fibra discreta: un recubrimiento es un homeomorfismo local especial cuyas fibras son discretas y se presentan de forma uniforme sobre vecindarios uniformemente cubiertos, lo que permite el levantamiento de caminos y homotopías y establece una relación con el grupo fundamental mediante transformaciones de cubierta (deck).

Demostración

La aplicación exponencial R -> S^1, t -> e^{2πit}, es el recubrimiento prototipo: cada punto del círculo tiene una vecindad en arco cuyo preimagen es una unión disjunta de intervalos en R, cada uno mapeado homeomórficamente; los recubrimientos universales proporcionan recubrimientos simplemente conexos para espacios conexos por caminos, localmente conexos por caminos y semi-localmente simplemente conexos.

Aplicación incorrecta

Confundir cualquier homeomorfismo local con un recubrimiento o aplicar argumentos de espacio recubridor en espacios que carecen de conexidad por caminos local o de semi-local simple conexidad puede fracasar; asimismo, asumir que todo recubrimiento es regular (galoisiano) es incorrecto sin la simetría de las transformaciones de cubierta.

Consecuencia

Identificar correctamente un recubrimiento proporciona herramientas potentes: levantamiento único de caminos, clasificación de recubrimientos por subgrupos del grupo fundamental, transferencia de propiedades topológicas entre base y cubierta, y construcción de recubrimientos universales para cálculos algébrico-topológicos.

Inversión

El concepto inverso son las aplicaciones cociente que identifican puntos de forma no local o fibraciones con fibras no discretas: en lugar de hojas discretas uniformes, estas nociones inversas pegan o colapsan estructura y obstruyen el levantamiento y las transformaciones de cubierta.

Límite

Los recubrimientos requieren hipótesis topológicas que permitan la cobertura uniforme (habitualmente conexidad por caminos local y semi-local simple conexidad para la clasificación); excluyen mapas con fibras no discretas o con ramificación (los recubrimientos ramificados requieren formalismos distintos).

Tensión semántica

Recubrimiento es cercano pero distinto a fibración y homeomorfismo local: todos los recubrimientos son homeomorfismos locales y son fibrados de fibra 0-dimensional, pero se diferencian de fibrados generales por la discreción de las fibras y de homeomorfismos locales arbitrarios por la estructura global de hojas y las propiedades de levantamiento.

Síntesis

Un recubrimiento es una trivialización local mediante hojas discretas de un espacio sobre otro: proporciona vecindarios uniformemente cubiertos que permiten el levantamiento de caminos y homotopías, se conecta con la estructura del grupo fundamental mediante transformaciones de cubierta y excluye fenómenos de ramificación o fibras no discretas.