Une relation binaire sur les éléments d'un groupe (ou d'une structure algébrique munie d'éléments inversibles) dans laquelle deux éléments a et b sont conjugués s'il existe un élément inversible g tel que a = g b g^{-1} ; les classes d'équivalence sont appelées classes de conjugaison.

Principe

La conjugaison est régie par les automorphismes intérieurs : conjuguer par un élément définit un automorphisme du groupe, et ces applications intérieures partitionnent le groupe en orbites (classes de conjugaison) dont les stabilisateurs sont les centralisateurs.

Démonstration

Dans le groupe symétrique S3, toutes les transpositions sont conjuguées : par exemple (12) = (13)(23)(13)^{-1}, donc les trois transpositions forment une même classe de conjugaison ; dans GL(n), deux matrices sont conjuguées exactement lorsqu'elles représentent la même application linéaire dans des bases différentes (similarité).

Mauvaise application

Considérer la conjugaison comme une égalité stricte ou comme de la commutativité — par exemple affirmer que si a et b sont conjugués alors a = b, ou que des éléments conjugués commutent — est faux et masque la nature d'action du groupe par conjugaison.

Conséquence

L'usage correct de la conjugaison fournit des invariants et des outils de classification : fonctions de classe, tables de caractères, le centre (éléments qui ne sont conjugués qu'à eux-mêmes) et le lien entre classes de conjugaison et sous-groupes normaux via le critère de réunion de classes.

Inversion

L'inversion du concept est la centralité : au lieu de relier des éléments par un changement de coordonnées, on peut s'intéresser aux éléments fixés par toutes les conjugaisons (appartenant au centre) ou, inversement, étudier des coclassses qui identifient des éléments sans passer par les conjugaisons intérieures.

Limite

La conjugaison est définie dans des contextes disposant d'une notion d'inversibilité (groupes, groupoïdes, opérateurs linéaires inversibles) ; les analogues naïfs dans les semi-groupes ou les contextes non inversibles exigent des définitions adaptées et ne donnent pas nécessairement des relations d'équivalence aux mêmes propriétés.

Tension sémantique

La conjugaison entre en tension avec la similarité en algèbre linéaire et avec d'autres relations d'équivalence : la similarité est un cas particulier (matrices sous changement de base), tandis que d'autres équivalences d'orbites peuvent être confondues avec la conjugaison si le groupe agissant n'est pas intérieur.

Synthèse

La conjugaison condense l'idée de « même chose à un changement de coordonnées près » en une relation d'équivalence générée par les automorphismes intérieurs : elle identifie des éléments qui se comportent de la même manière dans l'action du groupe, organise la structure en classes et centralisateurs, et fournit le langage des invariants en théorie de la représentation et en classification.