Definición
Una relación binaria sobre los elementos de un grupo (o una estructura algebraica con elementos invertibles) en la que dos elementos a y b son conjugados si existe un invertible g con a = g b g^{-1}; las clases de equivalencia se denominan clases de conjugación.
Principio
Principio
La conjugación está regida por los automorfismos interiores: conjugar por un elemento define un automorfismo del grupo, y estas aplicaciones interiores particionan el grupo en órbitas (clases de conjugación) cuyos estabilizadores son centralizadores.
Demostración
Demostración
En el grupo simétrico S3, todas las transposiciones son conjugadas: por ejemplo (12) = (13)(23)(13)^{-1}, por lo que las tres transposiciones forman una sola clase de conjugación; en GL(n), dos matrices son conjugadas exactamente cuando representan la misma aplicación lineal en distintas bases (similitud).
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Tratar la conjugación como igualdad literal o como conmutatividad —por ejemplo afirmar que a y b conjugados implica a = b, o que elementos conjugados conmutan— es incorrecto y oculta la naturaleza de acción del grupo por conjugación.
Consecuencia
Consecuencia
El uso correcto de la conjugación produce invariantes y herramientas de clasificación: funciones de clase, tablas de caracteres, el centro (elementos que solo son conjugados consigo mismos) y la relación entre clases de conjugación y subgrupos normales mediante criterios de unión de clases.
Inversión
Inversión
La inversión del concepto es la centralidad: en vez de relacionar elementos por cambio de coordenadas, se puede preguntar cuándo los elementos son fijados por todas las conjugaciones (pertenecen al centro) o, a la inversa, estudiar coclases que identifican elementos sin pasar por conjugaciones internas.
Límite
Límite
La conjugación se define en contextos con noción de invertibilidad (grupos, groupoides, operadores lineales invertibles); análogos ingenuos en semigrupos o contextos no invertibles requieren definiciones ajustadas y pueden no producir relaciones de equivalencia con las mismas propiedades.
Tensión semántica
Tensión semántica
La conjugación entra en tensión semántica con la similitud en álgebra lineal y con otras relaciones de equivalencia: la similitud es una instancia concreta (matrices bajo cambio de base), mientras que otras equivalencias de órbitas pueden confundirse con conjugación si el grupo actuante no es interior.
Síntesis
Síntesis
La conjugación concentra la idea de «lo mismo hasta un cambio de coordenadas» en una relación de equivalencia generada por automorfismos interiores: identifica elementos con comportamiento interno equivalente, organiza la estructura en clases y centralizadores y proporciona el lenguaje de invariantes en teoría de representaciones y clasificación.