Un morphisme m : A → B dans une catégorie qui est cancellatif à gauche : pour toute paire de morphismes parallèles g,h de domaine X, mg = mh implique g = h. Il généralise la notion d'application injective préservant la structure dans les catégories concrètes.

Principe

Les monomorphismes préservent la possibilité de distinguer des flèches vers leur domaine : composer deux flèches distinctes par un mono ne peut pas les rendre égales ; dans Ens cela correspond à l'injectivité des fonctions.

Démonstration

L'injection i : S → T d'un sous-ensemble S ⊆ T est un monomorphisme car deux applications vers S qui diffèrent restent différentes après inclusion ; dans la catégorie des modules, une application linéaire injective est un mono.

Mauvaise application

Prétendre qu'un monomorphisme se scinde toujours (possède une inverse à gauche) ou que monomorphisme et injectivité coïncident dans toutes les catégories ; dans certaines catégories un mono n'est pas un plongement des ensembles sous-jacents et peut échouer à se scinder.

Conséquence

Les monomorphismes se comportent comme des plongements : ils identifient un sous-objet à isomorphisme près et permettent de construire des sous-objets et des limites ; des chaînes de monos décrivent des filtrations ou des treillis de sous-structures.

Inversion

Un morphisme non monomorphe peut écraser des morphismes entrants distincts lors de la composition, il ne reflète donc pas fidèlement les distinctions entre applications vers son domaine.

Limite

Le monomorphisme est une condition purement catégorique et ne doit pas être confondu avec l'injectivité point par point sauf dans les catégories définies sur des ensembles ; l'interprétation dépend de la catégorie ambiante et de son égalité des flèches.

Tension sémantique

Monomorphisme versus application injective : dans les catégories concrètes ils coïncident souvent mais pas toujours ; tension aussi entre 'mono comme sous-objet' et 'mono comme flèche cancellative' en contexte abstrait.

Synthèse

Le monomorphisme est l'abstraction catégorique d'un plongement injectif : c'est un morphisme cancellatif à gauche qui identifie, lorsque cela a du sens, un objet comme sous-objet tout en respectant l'égalité des flèches de la catégorie.