Ein Morphismus m: A → B in einer Kategorie, der links-kürzbar ist: Für je zwei parallele Morphismen g,h mit derselben Quelle gilt mg = mh ⇒ g = h. Er verallgemeinert die Idee einer injektiven struktur-erhaltenden Abbildung in konkreten Kategorien.

Prinzip

Monomorphismen erhalten die Unterscheidbarkeit von Pfeilen in die Quelle: Durch Komposition mit einem Mono können zwei verschiedene Abbildungen nicht gleich gemacht werden; in Set entspricht dies der Injektivität von Funktionen.

Demonstration

Die Inklusionsabbildung i: S → T einer Teilmenge S ⊆ T ist ein Monomorphismus, weil zwei in S verschiedene Abbildungen nach Einbettung verschieden bleiben; in der Kategorie der Moduln ist eine injektive lineare Abbildung ein Mono.

Fehlanwendung

Zu behaupten, jeder Monomorphismus spalte (habe ein linksseitiges Inverses), oder Mono und Injektivität würden in allen Kategorien übereinstimmen; in manchen Kategorien ist ein Mono kein Einbettung der zugrunde liegenden Mengen und kann nicht splitten.

Konsequenz

Monomorphismen verhalten sich wie Einbettungen: Sie identifizieren ein Teilobjekt bis auf Isomorphie und erlauben Konstruktionen von Teilobjekten und Limiten; Ketten von Monos beschreiben Filtrierungen oder Verbandsstrukturen von Teilobjekten.

Umkehrung

Ein Nicht-Monomorphismus kann beim Komponieren verschiedene hereinkommende Morphismen zusammenfallen lassen und spiegelt daher Unterscheidungen in den eingehenden Abbildungen nicht treu wider.

Abgrenzung

Monomorphismus ist eine rein kategoriale Bedingung und darf nicht mit punktweiser Injektivität verwechselt werden, außer in Kategorien, die auf Mengen beruhen; die genaue Bedeutung hängt von der umgebenden Kategorie und der Gleichheit der Pfeile ab.

Semantische Spannung

Monomorphismus versus injektive Abbildung: In konkreten Kategorien stimmen sie oft überein, aber nicht immer; weiter Spannung zwischen 'Mono als Teilobjekt' und 'Mono als cancellable Pfeil' in abstrakten Zusammenhängen.

Synthese

Ein Monomorphismus ist die kategoriale Abstraktion einer injektiven Einbettung: ein links-cancellierbarer Morphismus, der—soweit sinnvoll—ein Objekt als echtes Teilobjekt innerhalb der Kategorie identifiziert.