Une application ou morphisme f : X → Y dont l'image est égale au codomaine : pour tout y de Y il existe x dans X tel que f(x)=y.

Principe

Une surjection garantit que chaque valeur cible est atteinte ; dans la catégorie des ensembles cela équivaut à l'existence d'une inverse à droite et à ce que le codomaine soit entièrement couvert par l'image.

Démonstration

La fonction cubique f : R → R définie par f(x)=x^3 est surjective car tout réel y admet une racine cubique réelle ; la projection canonique Z → Z/nZ est surjective car chaque classe de restes a un représentant entier.

Mauvaise application

Considérer une application comme surjective parce que son image est dense ou « grande », ou confondre « image égale au codomaine » avec « image non vide » ou « image dense » en topologie.

Conséquence

Une application surjective (dans Ens) admet une inverse à droite ; la surjectivité permet les constructions par quotient et garantit qu'aucun élément du codomaine n'est inaccessible par l'application.

Inversion

Une application non surjective a un codomaine contenant des éléments non atteints ; son image est un sous-ensemble strict du codomaine.

Limite

La surjectivité est une notion élémentaire dans les catégories concrètes comme Ens ou Top, mais en théorie des catégories le concept proche est l'épimorphisme et ils ne coïncident pas toujours ; la surjectivité dépend de la présentation des objets et des morphismes.

Tension sémantique

Surjection versus épimorphisme : dans Ens ils coïncident, mais dans d'autres catégories un épimorphisme peut ne pas être surjectif ; éviter de confondre « surjectif » et « image importante » en contexte topologique ou mesurable.

Synthèse

La surjection caractérise les applications qui épuisent leur codomaine : chaque élément cible provient d'au moins un antécédent, propriété qui, dans les catégories concrètes, s'interprète par des inverses à droite et des descriptions par quotients.