Eine Abbildung oder ein Morphismus f: X → Y, dessen Bild dem Kodomänen entspricht: Für jedes y in Y existiert x in X mit f(x)=y.

Prinzip

Eine Surjektion stellt sicher, dass jeder Zielwert getroffen wird; in Set ist dies äquivalent zur Existenz eines rechtsseitigen Inversen und dazu, dass das Kodomän vollständig vom Bild bedeckt ist.

Demonstration

Die kubische Abbildung f: R → R, f(x)=x^3, ist surjektiv, weil jede reelle Zahl eine reelle Kubikwurzel hat; die kanonische Projektion Z → Z/nZ ist surjektiv, da jede Restklasse einen ganzzahligen Vertreter besitzt.

Fehlanwendung

Eine Abbildung fälschlich für surjektiv halten, weil ihr Bild dicht oder groß ist, oder 'Bild = Kodomän' mit bloß 'Bild ≠ ∅' oder 'dichtes Bild' in topologischen Zusammenhängen verwechseln.

Konsequenz

Ist eine Abbildung surjektiv (in Set), so besitzt sie ein rechtsseitiges Inverses; Surjektivität ermöglicht Quotientenkonstruktionen und stellt sicher, dass kein Element des Kodomäns unerreichbar bleibt.

Umkehrung

Eine nicht-surjektive Abbildung hat ein Kodomän mit Elementen, die nicht getroffen werden; ihr Bild ist eine echte Teilmenge des Kodomäns.

Abgrenzung

Surjektivität ist in konkreten Kategorien wie Set oder Top unmittelbar, aber in der allgemeinen Kategorientheorie entspricht der Begriff eher dem Epimorphismus und stimmt nicht in allen Kategorien überein.

Semantische Spannung

Surjektion versus Epimorphismus: In Set sind sie gleich, in anderen Kategorien kann ein Epimorphismus nicht surjektiv sein; außerdem besteht Verwechslungsgefahr mit 'großem' oder 'dichtem' Bild in topologischen oder Maßkontexten.

Synthese

Surjektion bezeichnet Abbildungen, die ihr Kodomän vollständig erreichen; in konkreten Kategorien verbindet sich diese Eigenschaft mit rechtsseitigen Inversen und mit der Konstruktion von Quotienten.