Une application bijective entre deux objets mathématiques qui préserve la structure pertinente (opérations, relations ou éléments distingués) et dont l'inverse préserve également cette structure ; elle identifie les objets comme identiques au regard de la structure considérée.

Principe

Deux objets sont regardés comme équivalents dans un cadre formel donné dès qu'il existe une bijection entre eux qui commute avec les opérations ou relations définissant la structure, faisant correspondre toutes les propriétés exprimables par la structure.

Démonstration

En théorie des groupes, l'application f : Z4 → {1,a,a^2,a^3} définie par k (mod 4) ↦ a^k est un isomorphisme : elle est bijective et f(k+l)=f(k)f(l), donc l'opération de groupe est préservée et l'inverse respecte aussi la structure.

Mauvaise application

Prétendre qu'une simple bijection des ensembles sous-jacents est un isomorphisme sans vérifier la conservation de la structure — par exemple associer arbitrairement les éléments de deux anneaux par bijection et affirmer un isomorphisme d'anneaux négligerait la compatibilité de l'addition et de la multiplication.

Conséquence

Lorsqu'un véritable isomorphisme existe, toutes les affirmations structurales exprimables dans le langage de la structure (équations, relations d'ordre, invariants homologiques) correspondent exactement entre les objets ; on peut transférer constructions et preuves via l'application.

Inversion

Une bijection qui ne préserve pas la structure — par exemple une bijection entre groupes qui ne respecte pas la loi de groupe — montre la non-isomorphie malgré la correspondance un-à-un.

Limite

S'applique au sein d'une catégorie ou d'une signature spécifiée : ce qui compte comme préservation de la structure dépend des opérations et relations choisies. Un isomorphisme en tant qu'ensembles n'est pas nécessairement un isomorphisme en tant que groupes, espaces topologiques ou variétés différentiables.

Tension sémantique

L'isomorphisme entre en tension conceptuelle avec la simple bijection et avec des équivalences plus faibles (homomorphisme, plongement) ; la question est de savoir si l'on exige l'égalité de la structure (isomorphisme) ou une correspondance plus lâche (par exemple équivalence par homotopie).

Synthèse

Un isomorphisme est une application bijective préservant la structure (dont l'inverse préserve aussi la structure) qui identifie deux objets mathématiques comme identiques pour la structure considérée.