Una aplicación biyectiva entre dos objetos matemáticos que preserva la estructura relevante (operaciones, relaciones o elementos distinguidos) y cuya inversa también preserva esa estructura; identifica los objetos como idénticos respecto de la estructura considerada.

Principio

Dos objetos se consideran equivalentes en un marco formal dado cuando existe una biyección entre ellos que conmuta con las operaciones o relaciones que definen la estructura, haciendo que todas las propiedades expresables en esa estructura correspondan.

Demostración

En teoría de grupos, la aplicación f: Z4 → {1,a,a^2,a^3} que envía k (mod 4) a a^k es un isomorfismo: es biyectiva y f(k+l)=f(k)f(l), por lo que la operación de grupo se preserva y la inversa también conserva la estructura.

Aplicación incorrecta

Tratar cualquier biyección entre los conjuntos subyacentes como un isomorfismo sin comprobar la preservación de la estructura — por ejemplo emparejar arbitrariamente los elementos de dos anillos y afirmar isomorfismo de anillos — ignoraría la compatibilidad de suma y producto.

Consecuencia

Si existe un verdadero isomorfismo, todas las afirmaciones estructurales expresables en el lenguaje de la estructura (ecuaciones, relaciones de orden, invariantes homológicos) corresponden exactamente entre los objetos; se pueden transferir construcciones y pruebas mediante la aplicación.

Inversión

Una biyección que no preserva la estructura — p. ej. una biyección entre grupos que no respeta la ley de grupo — demuestra no ser isomorfismo pese a la correspondencia uno a uno.

Límite

Se aplica dentro de una categoría o firma especificada: lo que cuenta como preservación de la estructura depende de las operaciones y relaciones elegidas. Un isomorfismo en la categoría de conjuntos puede no serlo en la de grupos, espacios topológicos o variedades diferenciables.

Tensión semántica

El isomorfismo compite conceptualmente con la mera biyección y con equivalencias más débiles (homomorfismo, incrustación); la tensión es si se exige igualdad de estructura (isomorfismo) o una correspondencia más débil (p. ej. equivalencia por homotopía).

Síntesis

Un isomorfismo es la aplicación biyectiva y preservadora de estructura (con inversa que también preserva la estructura) que identifica dos objetos matemáticos como equivalentes para la estructura considerada.