Un comportement singulier concentré le long d'une arête ou d'une sous-variété de codimension un dans un domaine où les solutions ou grandeurs géométriques présentent une régularité réduite par rapport à l'intérieur ; au voisinage de l'arête la solution peut avoir des termes singuliers dominants avec lois en puissances non entières ou facteurs logarithmiques.

Principe

La géométrie et les conditions aux limites sur des variétés à arêtes rompent les hypothèses de la théorie de régularité elliptique intérieure ; le modèle local proche d'une arête est typiquement le produit d'une direction lisse et d'un coin ou demi-espace bidimensionnel, produisant des développements singuliers anisotropes.

Démonstration

Équation de Laplace sur un domaine polygonal : près d'un angle rentrant ou le long d'une arête, une fonction harmonique se comporte comme r^{α} multiplié par une fonction angulaire propre, où α∈(0,1) détermine une régularité H^s réduite. En élasticité, les contraintes se concentrent le long d'arêtes aiguës, produisant des facteurs d'intensité singulière.

Mauvaise application

Appliquer des estimations de régularité intérieure ou des méthodes aux éléments finis naïves sans raffinement de maillage ou enrichissement en fonctions singulières aux arêtes, ou supposer la douceur du bord alors que le domaine comporte des coins ou arêtes, conduit à des estimations d'erreur inexactes et à une perte de convergence.

Conséquence

Identifier les singularités d'arête conduit à l'utilisation d'espaces de Sobolev à poids, de développements en fonctions singulières, de maillages gradués ou de schémas numériques adaptés aux arêtes et oriente l'interprétation correcte des intensités physiques (contrainte, amplification de champ) au voisinage des arêtes.

Inversion

Comportement régulier intérieur : dans des domaines lisses éloignés d'arêtes ou de coins, la régularité elliptique assure une différentiabilité supérieure et des développements classiques sans exposants non entiers ni concentrations localisées.

Limite

Se rapporte au comportement singulier lié aux sous-variétés de codimension un (arêtes) ou interfaces de codimension inférieure ; exclut les singularités ponctuelles isolées de l'intérieur non liées aux arêtes ou celles produites uniquement par la dégénérescence des coefficients plutôt que par la géométrie.

Tension sémantique

Tension avec les singularités de coin ou de sommet : les arêtes forment des ensembles singuliers étendus de structure unidimensionnelle, tandis que coins/sommets sont localisés ; tension aussi avec les singularités induites par les coefficients quand la géométrie est lisse mais l'opérateur cause des singularités.

Synthèse

Une singularité d'arête est une perte de régularité induite par la géométrie, localisée le long d'une arête ou d'une sous-variété de codimension un, caractérisée par des développements singuliers anisotropes et nécessitant des espaces fonctionnels pondérés et des traitements numériques ou analytiques adaptés.