Un comportamiento singular concentrado a lo largo de una arista o una subvariedad de codimensión uno en un dominio donde las soluciones o cantidades geométricas muestran regularidad reducida respecto al interior; cerca de la arista la solución puede presentar términos singulares dominantes con leyes de potencia no enteras o factores logarítmicos.

Principio

La geometría y las condiciones de contorno en variedades con aristas rompen las hipótesis de la teoría de regularidad interior elíptica; el modelo local cerca de una arista es típicamente el producto de una dirección suave y una cuña o semiespacio bidimensional, produciendo expansiones singulares anisótropas.

Demostración

Ecuación de Laplace en un dominio poligonal: cerca de una esquina reentrante o a lo largo de una arista la función armónica se comporta como r^{α} multiplicada por una autofunción angular, donde α∈(0,1) determina una regularidad H^s reducida. En elasticidad, las tensiones se concentran a lo largo de aristas afiladas produciendo factores de intensidad singular.

Aplicación incorrecta

Aplicar estimaciones de regularidad interior o métodos elementales finitos ingenuos sin refinado de malla o enriquecimiento por funciones singulares en aristas, o asumir suavidad del borde cuando el dominio tiene esquinas o aristas, conduce a estimaciones de error inexactas y pérdida de convergencia.

Consecuencia

Identificar singularidades de arista lleva a usar espacios de Sobolev con peso, expansiones en funciones singulares, mallados graduados o esquemas numéricos adaptados a aristas e informa la correcta interpretación de intensidades físicas (tensión, aumento de campo) cerca de las aristas.

Inversión

Comportamiento regular interior: en dominios lisos alejados de aristas o esquinas, la regularidad elíptica garantiza mayor diferenciabilidad y expansiones clásicas sin exponentes no enteros ni concentraciones localizadas.

Límite

Se refiere al comportamiento singular ligado a subvariedades de codimensión uno (aristas) o interfaces de menor codimensión; excluye singularidades puntuales aisladas en el interior no relacionadas con aristas o singularidades producidas únicamente por degeneración de coeficientes más que por la geometría.

Tensión semántica

Tensión con singularidades de esquina o vértice: las aristas son conjuntos singulares extendidos con estructura unidimensional, mientras que las esquinas/vértices son localizados; también tensión con singularidades inducidas por coeficientes cuando la geometría es lisa pero el operador provoca singularidades.

Síntesis

Una singularidad de arista es una pérdida de regularidad impulsada por la geometría, localizada a lo largo de una arista o subvariedad de codimensión uno, caracterizada por expansiones singulares anisótropas y que requiere espacios funcionales con peso y tratamientos numéricos o analíticos adaptados.