Un point x0 du domaine d'une fonction à valeurs réelles ou vectorielles où la dérivée (ou différentielle) n'existe pas ou n'est pas bien définie, généralement en raison d'un angle, d'une cuspide, d'une tangente verticale ou d'un comportement oscillatoire empêchant la convergence de l'approximation linéaire.

Principe

La différentiabilité exige une approximation linéaire d'ordre un unique au point ; les modes d'échec surviennent lorsque les approximations linéaires à gauche et à droite divergent, deviennent infinies ou oscillent à des échelles comparables à l'incrément.

Démonstration

La valeur absolue f(x)=|x| a un point de non-différentiabilité en x=0 car la dérivée à gauche vaut -1 et à droite +1. La cuspide f(x)=|x|^{2/3} présente une pente classique infinie ; l'exemple oscillatoire f(x)=x^2 sin(1/x) (x≠0) avec f(0)=0 est différentiable en 0, mais f(x)=x sin(1/x) rend 0 non différentiable à cause des quotients de différences oscillants.

Mauvaise application

Supposer que la continuité ou la différentiabilité C^1 sur des sous-ensembles denses implique la différentiabilité en chaque point ; confondre la différentiabilité presque partout avec la différentiabilité en points particuliers de bord ou d'angle.

Conséquence

La reconnaissance d'un point non différentiable impose d'utiliser des dérivées faibles, des sous-différentiels, une analyse par morceaux ou le calcul non lisse ; elle oriente le choix de schémas numériques qui ne supposent pas de Jacobiennes lisses et éclaire les démonstrations de régularité.

Inversion

Un point différentiable est celui où l'approximation linéaire existe et est unique ; les quotients de différences gauche et droite coïncident et tout comportement oscillatoire est d'ordre supérieur à l'incrément.

Limite

S'applique aux points du domaine des fonctions entre espaces de Banach ; exclut les singularités de valeur supprimables et les points où la fonction est non définie, sauf si l'on parle explicitement de dérivées au sens des distributions.

Tension sémantique

Se distingue de la discontinuité : une fonction peut être continue et non différentiable (par ex. |x|). Tension aussi avec la différentiabilité faible : une dérivée faible en L^2 peut exister alors que la dérivée classique ponctuelle fait défaut.

Synthèse

Un point de non-différentiabilité est un échec local précis de l'approximation linéaire d'ordre un, repérable par la discordance, la divergence ou l'oscillation persistante des quotients de différences, nécessitant des cadres de dérivées faibles ou non lisses.