Un punto x0 en el dominio de una función con valores reales o vectoriales donde la derivada (o diferencial) no existe o no está bien definida, normalmente debido a una esquina, una cúspide, una tangente vertical o un comportamiento oscilatorio que impide la convergencia de la aproximación lineal.

Principio

La diferenciabilidad exige una única aproximación lineal de primer orden en el punto; los modos de fallo ocurren cuando las aproximaciones lineales izquierda y derecha no coinciden, divergen o oscilan en escalas comparables al incremento.

Demostración

La función valor absoluto f(x)=|x| tiene un punto de no diferenciabilidad en x=0 porque la derivada por la izquierda es -1 y por la derecha +1. La cúspide f(x)=|x|^{2/3} presenta pendiente clásica infinita; el ejemplo oscilatorio f(x)=x^2 sin(1/x) con f(0)=0 es diferenciable en 0, pero f(x)=x sin(1/x) hace que 0 sea no diferenciable por las oscilaciones de los cocientes incrementales.

Aplicación incorrecta

Asumir que la continuidad o la pertenencia a C^1 en subconjuntos densos implica diferenciabilidad en cada punto; confundir diferenciabilidad 'casi en todas partes' con diferenciabilidad en puntos específicos de borde o vértice.

Consecuencia

Reconocer un punto no diferenciable obliga a usar derivadas débiles, subdiferenciales, análisis por tramos o cálculo no suave; orienta la elección de esquemas numéricos que no supongan jacobianos lisos e informa pruebas de regularidad.

Inversión

Un punto diferenciable es aquel donde la aproximación lineal existe y es única; los cocientes incrementales por la izquierda y por la derecha coinciden y cualquier oscilación es de orden superior al incremento.

Límite

Se aplica a puntos en el dominio de funciones entre espacios de Banach; excluye singularidades de valor eliminables y puntos donde la función no está definida, salvo que se especifique derivadas en sentido de distribuciones.

Tensión semántica

Se diferencia de la discontinuidad: una función puede ser continua y no diferenciable (ej. |x|). Tensión también con la diferenciabilidad débil: existe derivada débil en L^2 mientras la derivada clásica puntual falla.

Síntesis

Un punto de no diferenciabilidad es un fallo local y preciso de la aproximación lineal de primer orden, detectable por la discrepancia, divergencia u oscilación persistente de los cocientes incrementales, y requiere marcos de derivadas débiles o no suaves.