L’ensemble des points x dans un espace mesurable tels que tout voisinage de x a une intersection de mesure positive à la fois avec l’ensemble mesurable et avec son complément, considéré à modulo des ensembles de mesure nulle ; équivalemment le lieu où la densité ponctuelle de l’ensemble n’est ni 0 ni 1.

Principe

Définie modulo les ensembles de mesure nulle, la frontière mesurale (essentielle) saisit l’interface pertinente pour la mesure et l’intégration : les points de densité intermédiaire (ni intérieur plein ni extérieur plein) et donc l’emplacement naturel des mesures de périmètre et de variation.

Démonstration

Pour un sous-ensemble mesurable A ⊂ R^n muni de la mesure de Lebesgue, x appartient à la frontière essentielle ∂^*A si limsup_{r→0} |A∩B_r(x)|/|B_r(x)| > 0 et limsup_{r→0} |(R^n\A)∩B_r(x)|/|B_r(x)| > 0. Exemple : une boule dont on a retiré un ensemble dénombrable dense possède une frontière topologique vaste mais une frontière essentielle égale à la sphère habituelle (à des ensembles nuls près).

Mauvaise application

Confondre la frontière essentielle avec la frontière topologique. Un ensemble peut avoir une grande frontière topologique tandis que sa frontière essentielle est petite ou vide si les points de la frontière topologique ont mesure nulle ; employer la frontière topologique dans des énoncés métriques conduit à des erreurs dans les formules de périmètre et de trace.

Conséquence

La frontière essentielle est l’objet adéquat en calcul des variations, théorie géométrique de la mesure et théorie BV : elle intervient dans les définitions de périmètre, les formules de Gauss–Green et les traces des fonctions de Sobolev/BV, et elle est stable par modifications sur des ensembles négligeables.

Inversion

Intérieur mesurique ou extérieur mesurique où la densité vaut respectivement 1 ou 0 ; en contraste avec intérieur/extérieur topologiques qui ignorent les différences de mesure nulle.

Limite

Nécessite une mesure ambiante (par ex. la mesure de Lebesgue) et n’a de sens qu’à modulo des ensembles nuls ; elle ne saisit pas les aspects purement topologiques indépendants de la mesure et se distingue de la frontière réduite, qui impose en outre rectifiabilité et existence d’une normale approchée.

Tension sémantique

Frontière essentielle versus frontière topologique et versus frontière réduite : la frontière essentielle est intrinsèque à la mesure et grossière, la frontière topologique est purement topologique, et la frontière réduite affine la frontière essentielle en ajoutant une normale approchée et des hypothèses de rectifiabilité.

Synthèse

La frontière mesurale (essentielle) est l’ensemble des points de densité intermédiaire qui représente fidèlement l’interface d’un ensemble mesurable pour des fins intégratives et variationnelles ; définie à modulo d’ensembles nuls, elle est la frontière naturelle pour le périmètre, la théorie BV et l’analyse mesurable.