El conjunto de puntos x en un espacio medible tales que todo entorno de x tiene intersección de medida positiva tanto con el conjunto medible como con su complemento, considerado hasta conjuntos nulos; equivalentemente, el lugar donde la densidad puntual del conjunto no es ni 0 ni 1.

Principio

Definida módulo conjuntos de medida cero, la frontera medida-téorica (esencial) captura la interfaz relevante para la medida y la integración: puntos de densidad intermedia (ni interior pleno ni exterior pleno) y por tanto la ubicación natural de la medida de perímetro y de variación.

Demostración

Para un subconjunto medible A ⊂ R^n con medida de Lebesgue, x pertenece a la frontera esencial ∂^*A si limsup_{r→0} |A∩B_r(x)|/|B_r(x)| > 0 y limsup_{r→0} |(R^n\A)∩B_r(x)|/|B_r(x)| > 0. Ejemplo: una bola a la que se le ha eliminado un conjunto denso numerable tiene frontera topológica grande pero frontera esencial igual a la esfera usual (salvo conjuntos nulos).

Aplicación incorrecta

Confundir la frontera esencial con la frontera topológica. Un conjunto puede tener una frontera topológica extensa mientras que su frontera esencial es pequeña o vacía si los puntos de la frontera topológica tienen medida nula; usar la frontera topológica en afirmaciones medida-teóricas conduce a errores en fórmulas de perímetro y traza.

Consecuencia

La frontera esencial es el objeto correcto en cálculo de variaciones, teoría geométrica de la medida y teoría BV: aparece en definiciones de perímetro, fórmulas de Gauss–Green y trazas de funciones de Sobolev/BV y es estable frente a modificaciones en conjuntos nulos.

Inversión

Interior o exterior medida-teórico donde la densidad vale 1 o 0 respectivamente; en contraste con el interior/exterior topológico que ignora diferencias de medida cero.

Límite

Requiere una medida ambiente (por ejemplo, la de Lebesgue) y tiene sentido solo hasta conjuntos nulos; no captura características puramente topológicas independientes de la medida y se distingue de la frontera reducida, que impone adicionalmente rectificabilidad y existencia de una normal aproximada.

Tensión semántica

Frontera esencial versus frontera topológica y versus frontera reducida: la frontera esencial es intrínseca a la medida y gruesa; la frontera topológica es puramente topológica; la frontera reducida afina la esencial añadiendo una normal aproximada y condiciones de rectificabilidad.

Síntesis

La frontera medida-teórica (esencial) es el conjunto de puntos de densidad intermedia que representa fielmente la interfaz de un conjunto medible para fines integrativos y variacionales; definida hasta conjuntos nulos, es la frontera natural para el perímetro, BV y el análisis medida-teórico.