Un point d’une variété ou d’un espace métrique dont le voisinage est localement isométrique (ou homéomorphe avec structure métrique compatible) à un cône métrique sur un espace de base ; géométriquement il apparaît comme une « pointe » où la structure euclidienne habituelle échoue et où les métriques angulaire ou radiale présentent un comportement conique.

Principe

Localement la métrique peut s’écrire en coordonnées polaires comme dr^2 + r^2 g_B + termes d’ordre supérieur (pour r petit), où g_B est une métrique sur la base ; la singularité est codée par la géométrie de la base et par un déficit ou excès angulaire qui modifie les propriétés des gèodésiques et de la courbure.

Démonstration

Cône plat en deux dimensions : identifier le plan en recollant les côtés d’un secteur angulaire d’angle α ; l’apex est une singularité conique caractérisée par un angle 2π−α. Exemple riemannien : une métrique sur une surface avec angles coniques prescrits en des points finis, utilisée en constructions géométriques et en théorie des orbifolds.

Mauvaise application

Qualifier de conique tout point aigu ou de courbure non bornée alors que le voisinage n’admet pas une structure de coordonnées coniques. Une cuspide ou une pointe fractale peut être aiguë sans être modélisée par un cône métrique ; de même une singularité de coordonnées supprimable n’est pas une pointe conique véritable.

Conséquence

Les singularités coniques modifient la complétude géodésique, altèrent les propriétés spectrales des opérateurs de type Laplacien, introduisent de l’holonomie ou des déficits angulaires dans les flux géométriques, et nécessitent des outils analytiques adaptés (espaces à poids, opérateurs modèles) pour l’analyse des EDP près de la pointe.

Inversion

Un point régulier et lisse muni d’un cartographe euclidien, ou une cuspide dont le modèle local n’est pas conique ; également les surfaces avec singularités de bord (singularités en arête) plutôt que des pointes coniques isolées.

Limite

Concerne les singularités métriques isolées modélisées par des cônes ; exclut les singularités étendues en arêtes, les singularités de courbure réparties sans structure conique et les identifications purement topologiques ne préservant pas la forme de cône métrique.

Tension sémantique

Singularité conique versus cuspide ou arête : les points coniques possèdent une métrique radiale conique et une base bien définie ; les cuspides présentent d’autres asymptotiques (par exemple un resserrement exponentiel), et les arêtes sont des lieux singuliers unidimensionnels plutôt que des pointes isolées.

Synthèse

Une singularité conique est un défaut métrique isolé dont les voisinages sont modélisés par un cône sur une certaine variété de base, caractérisé par une forme métrique radiale et une structure angulaire qui modifient géodésiques, courbure et comportement spectral par rapport aux points lisses.