Un punto de una variedad o espacio métrico cuyo entorno es localmente isométrico (o homeomorfo con estructura métrica compatible) a un cono métrico sobre algún espacio base; geométricamente aparece como una 'punta' donde la estructura euclidiana habitual falla y las métricas angulares o radiales muestran comportamiento cónico.

Principio

Localmente la métrica puede escribirse en coordenadas polares como dr^2 + r^2 g_B + términos de orden superior (para r pequeño), donde g_B es una métrica en la base; la singularidad está codificada por la geometría de la base y por un defecto o exceso angular que modifica las geodésicas y las propiedades de curvatura.

Demostración

Cono plano en dos dimensiones: identificar el plano pegando los lados de un sector angular de ángulo α; el vértice es una singularidad cónica caracterizada por un ángulo 2π−α. Ejemplo riemanniano: una métrica en una superficie con ángulos cónicos prescritos en puntos finitos, usada en construcciones geométricas y teoría de orbifolds.

Aplicación incorrecta

Llamar cónico a cualquier pico afilado o punto de curvatura no acotada cuando el vecindario no admite estructura de coordenadas cónicas. Una cúspide o una punta fractal puede ser afilada sin estar modelada por un cono métrico; asimismo, las singularidades de coordenadas removibles no son puntos cónicos verdaderos.

Consecuencia

Las singularidades cónicas alteran la completitud geodésica, cambian las propiedades espectrales de operadores tipo Laplaciano, introducen holonomía o defectos angulares en flujos geométricos y exigen herramientas analíticas adaptadas (espacios con peso, operadores modelo) para el análisis PDE cerca del vértice.

Inversión

Un punto regular y liso con carta euclidiana, o una cúspide cuya descripción local no sea la de un cono; también las superficies con singularidades de arista (líneas singulares) en lugar de vértices cónicos aislados.

Límite

Se refiere a singularidades métricas aisladas modeladas por conos; excluye singularidades extendidas en aristas, singularidades de curvatura distribuidas sin estructura cónica y las identificaciones puramente topológicas que no conservan la forma de cono métrico.

Tensión semántica

Singularidad cónica frente a cúspide o arista: los puntos cónicos poseen métricas radiales de cono y una base bien definida; las cúspides tienen asintóticas distintas (por ejemplo, estrechamiento exponencial), y las aristas son loci singulares unidimensionales en vez de vértices aislados.

Síntesis

Una singularidad cónica es un defecto métrico aislado cuyas vecindades se modelan por un cono sobre cierta variedad base, caracterizado por una forma métrica radial y una estructura angular que modifican geodésicas, curvatura y comportamiento espectral respecto a los puntos lisos.