Une courbe ou un ensemble ôté du domaine d'une fonction multivaluée de manière à ce que le domaine restant admette une branche analytique à valeur unique ; une coupure de branche empêche les boucles fermées qui provoquent une monodromie non triviale autour des points de branchement.

Principe

En excisant des chemins reliant des points de branchement (ou reliant un point de branchement à l'infini), on brise les boucles responsables de la permutation des feuilles et on choisit ainsi une branche cohérente de la fonction multivaluée sur le domaine coupé.

Démonstration

Pour la branche principale de log(z) ou sqrt(z) on supprime couramment l'axe réel négatif comme coupure de branche ; cela empêche d'entourer z = 0 et permet un choix continu et à valeur unique de l'argument sur le plan fendu.

Mauvaise application

Choisir une coupure qui traverse une région où continuité ou analyticitè est requise, ou considérer la coupure comme intrinsèque plutôt que comme un choix, peut introduire des discontinuités artificielles ou masquer la vraie structure analytique.

Conséquence

Introduire une coupure de branche donne une branche à valeur unique sur le domaine fendu mais au prix d'une discontinuité de l'autre côté de la coupure ; les valeurs d'intégrales et la continuation analytique dépendent explicitement du choix de la coupure ou du passage à une surface de recouvrement.

Inversion

Sans coupure de branche la fonction reste multivaluée sur tout domaine contenant des boucles entourant le point de branchement ; l'inverse consiste à accepter un domaine à plusieurs feuilles (surface de Riemann) plutôt qu'à ôter des chemins au plan.

Limite

La coupure de branche est un dispositif extrinsèque, non une propriété de la fonction seule ; son emplacement et sa forme sont souvent arbitraires tant qu'ils empêchent d'entourer les points de branchement, et elle n'est pas applicable de la même façon aux pôles ou aux singularités essentielles.

Tension sémantique

Distinguons coupure de branche et point de branchement : la coupure est une suppression choisie dans le domaine pour imposer l'univocité, tandis que le point de branchement est l'obstruction intrinsèque ; il faut aussi différencier les coupures des discontinuités de saut propres aux variables réelles.

Synthèse

La coupure de branche est une fente choisie dans le domaine qui élimine les boucles autour des points de branchement pour définir une branche analytique cohérente, échangeant la multivaluation contre une discontinuité maîtrisée.