Un type de singularité isolée d'une fonction complexe en lequel la fonction diverge comme une puissance réciproque d'ordre fini de la coordonnée locale ; localement la fonction se comporte comme (z−z0)^{-m} multiplié par un facteur holomorphe non nul pour un entier m>0.

Principe

Les pôles représentent des divergences contrôlées et algébriques : l'ordre m quantifie la vitesse de croissance près de la singularité et permet de calculer la partie principale et les résidus pour les intégrales de contour.

Démonstration

La fonction g(z)=1/(z−a)^2 a un pôle d'ordre 2 en z=a ; près de a elle vaut (z−a)^{-2} et son développement de Laurent a une partie principale finie avec des termes jusqu'à (z−a)^{-2}.

Mauvaise application

Prendre une singularité essentielle pour un pôle ou supposer que toute divergence est un pôle conduit à des calculs de résidu erronés et à une classification locale incorrecte ; les singularités essentielles ont une infinité de termes en puissances négatives et un comportement qualitativement différent.

Conséquence

Reconnaître les pôles et leur ordre permet le calcul des résidus, la classification des fonctions méromorphes et la compréhension du prolongement analytique et du comportement des images près des singularités.

Inversion

Les types opposés sont la singularité retirable (pas de divergence) ou essentielle (divergence très irrégulière) ; les pôles se situent entre retirables et essentielles dans la classification classique des singularités isolées.

Limite

S'applique aux singularités isolées en analyse complexe ; exclut les singularités non isolées et les divergences en cadres non complexes sauf si des développements de type Laurent existent. La notion de pôle suppose une factorisation holomorphe locale.

Tension sémantique

Tension entre le pôle comme comportement local de Laurent et des concepts globaux comme l'ordre du zéro de la fonction réciproque ; ainsi qu'entre l'expression « valeur infinie » en langage courant et la notion algébrique précise de divergence d'ordre fini.

Synthèse

Un pôle est une singularité isolée où une fonction diverge de façon algébrique contrôlée : caractérisée par une partie principale finie en (z−z0)^{-m}, il est central pour la théorie des résidus et la classification méromorphe.