Un tipo de singularidad aislada de una función compleja en la que la función diverge como una potencia recíproca de orden finito de la coordenada local; localmente la función se comporta como (z−z0)^{-m} por un factor holomorfo no nulo para algún entero positivo m.

Principio

Los polos representan divergencias controladas y algebraicas: el orden m cuantifica la velocidad de crecimiento cerca de la singularidad y permite el cálculo de partes principales y residuos para integrales de contorno.

Demostración

La función g(z)=1/(z−a)^2 tiene un polo de orden 2 en z=a; cerca de a es igual a (z−a)^{-2} y su expansión de Laurent tiene una parte principal finita con términos hasta (z−a)^{-2}.

Aplicación incorrecta

Tratar una singularidad esencial como un polo o asumir que toda divergencia es un polo conduce a cálculos de residuos erróneos y a una clasificación local incorrecta; las singulares esenciales tienen infinitos términos de potencia negativa y comportamiento cualitativamente distinto.

Consecuencia

Reconocer polos y su orden permite calcular residuos, clasificar funciones meromorfas y comprender la continuación analítica y el comportamiento de mapeo cerca de singularidades.

Inversión

Las singularidades contrastantes son la removible (sin divergencia) y la esencial (divergencia muy irregular); los polos se sitúan entre las removibles y las esenciales en la clasificación clásica de singularidades aisladas.

Límite

Se aplica a singularidades aisladas en análisis complejo; excluye singularidades no aisladas y divergencias en contextos no complejos salvo que existan expansiones tipo Laurent. La noción de polo presupone la factorización holomorfa local.

Tensión semántica

Existe tensión entre ver el polo como comportamiento local de Laurent y conceptos globales como el orden del cero de la función recíproca; también entre la noción coloquial de 'valor infinito' y la precisa idea algebraica de divergencia de orden finito.

Síntesis

Un polo es una singularidad aislada donde una función se comporta con una divergencia algebraica controlada: caracterizado por una parte principal finita en (z−z0)^{-m}, es esencial para la teoría de residuos y la clasificación meromorfa.