Un point d'un ensemble qui possède un voisinage contenant aucun autre point de l'ensemble ; équivalemment un point de l'ensemble qui n'est pas un point d'accumulation.

Principe

L'isolement signifie une discrétion locale : l'ensemble ne se regroupe pas au voisinage du point car il existe une région ouverte autour de celui-ci exempte d'autres éléments de l'ensemble.

Démonstration

Pour l'ensemble {0} ∪ {1/n : n ∈ N} sur la droite réelle, chaque 1/n est isolé par un intervalle suffisamment petit qui exclut les autres 1/m, tandis que 0 n'est pas isolé car les 1/n s'y accumulent.

Mauvaise application

Supposer que les points isolés sont négligeables dans des arguments topologiques peut être faux : ils peuvent modifier des propriétés de compacité ou de connexité (quelques points isolés peuvent rompre la connexité ou affecter la fermeture).

Conséquence

Identifier les points isolés permet de séparer composantes discrètes et structures d'amas, de simplifier les analyses locales (par exemple définir des fonctions par leurs valeurs sur ces points) et d'éclaircir le comportement de convergence des suites.

Inversion

La notion inverse est l'accumulation : les points dont tout voisinage contient d'autres points de l'ensemble. Là où l'isolement existe, l'accumulation est localement absente.

Limite

S'applique dans toute topologie ; exclut les notions d'isolement quantifiées par une distance sauf si la topologie est métrique. Un point isolé peut néanmoins appartenir à la frontière de l'ensemble si son voisinage rencontre aussi le complément.

Tension sémantique

Tension avec « point discret » et « atome » en théorie de la mesure : un point isolé est une notion topologique et n'implique pas automatiquement une masse positive ou une atomicité algébrique.

Synthèse

Un point isolé est un élément d'un ensemble qui se tient seul dans un voisinage : un point localement discret marquant l'absence d'amas en ce lieu.