Un punto de un conjunto que tiene una vecindad que no contiene otros puntos del conjunto; equivalente a un punto del conjunto que no es un punto de acumulación.

Principio

El aislamiento significa discreción local: el conjunto no se agrupa en el punto porque existe una región abierta alrededor del mismo libre de otros miembros del conjunto.

Demostración

En el conjunto {0} ∪ {1/n : n ∈ N} en la recta real, cada 1/n es aislado por un intervalo suficientemente pequeño que excluye a otros 1/m, mientras que 0 no es aislado porque los 1/n se acumulan en él.

Aplicación incorrecta

Asumir que los puntos aislados son despreciables en argumentos topológicos puede ser incorrecto: pueden cambiar propiedades de compacidad o conexidad (unos pocos puntos aislados pueden romper la conexidad o afectar el cierre).

Consecuencia

Identificar puntos aislados separa componentes discretas de estructuras de cúmulos, simplifica análisis locales (por ejemplo definir funciones por sus valores en puntos aislados) y aclara propiedades de convergencia de sucesiones.

Inversión

La noción inversa es la acumulación: puntos cuyas vecindades contienen otros miembros del conjunto. Donde existe aislamiento, la acumulación falla localmente.

Límite

Se aplica en cualquier topología; excluye nociones de aislamiento medidas por distancia a menos que la topología sea métrica. Un punto aislado puede seguir siendo punto de la frontera del conjunto si su vecindad también interseca el complemento.

Tensión semántica

Existe tensión con 'punto discreto' y 'átomo' en teoría de la medida: un punto aislado es una noción topológica y no implica necesariamente medida positiva o atomicidad algebraica.

Síntesis

Un punto aislado es un miembro de un conjunto que permanece solo en alguna vecindad: un elemento localmente discreto que indica ausencia de agrupamiento en ese lugar.