Propriété d'un ensemble définissable (ou d'une théorie complète considérée par son tri de base) selon laquelle tout sous-ensemble définissable (avec paramètres) est soit fini soit cofin, c'est‑à‑dire que les seuls sous-ensembles infinis définissables coïncident avec l'ensemble tout entier, fournissant une géométrie minimale canonique sur le domaine.

Principe

Imposer une indivisibilité maximale aux sous-ensembles définissables : il n'existe pas de sous-structure infinie intermédiaire définissable, si bien que la combinatoire définissable se réduit à des exceptions finies et à l'ensemble complet.

Démonstration

La théorie à un seul tri d'un corps algébriquement clos, vue sur l'ensemble sous-jacent dans le langage des anneaux, illustre la minimalité forte : une équation polynomiale à une variable définit soit un ensemble fini (les racines) soit, si l'identité est satisfaite, le corps tout entier ; ainsi tout sous-ensemble définissable du corps est, à paramètres près, fini ou cofin.

Mauvaise application

Prendre pour minimalité forte toute structure qui semble avoir peu d'ensembles définissables sans vérifier la définition avec paramètres, ou supposer que la minimalité forte est conservée par tout réduct ou toute extension du langage.

Conséquence

La minimalité forte engendre une pré-géométrie (un opérateur de clôture vérifiant l'échange), une notion de dimension (rang de Morley égal à 1) et des conséquences structurelles puissantes comme l'élimination de certains imaginaires et un contrôle fort de la dépendance algébrique entre éléments.

Inversion

La situation inverse est un domaine définissable hautement divisible : il existe de nombreux sous-ensembles définissables infinis propres (par exemple un ordre dense sans bornes), produisant une richesse combinatoire définissable plutôt qu'une dichotomie stricte.

Limite

S'applique à un ensemble définissable ou à une théorie complète via son tri de base en logique du premier ordre ; elle n'engage pas les familles définissables dans d'autres tris sauf si la propriété y est vérifiée, et présuppose la notion usuelle de définissabilité avec paramètres en premier ordre.

Tension sémantique

La minimalité forte entre en tension conceptuelle avec des notions de stabilité comme l'ω-stabilité : les deux restreignent la complexité des types et des ensembles définissables, mais la minimalité forte est une dichotomie géométrique locale sur un tri tandis que l'ω-stabilité est une propriété globale de comptage des types.

Synthèse

La minimalité forte résume une austérité géométrique nette : chaque sous-ensemble définissable est soit négligeable (fini) soit coextensif (cofin), ce qui impose une pré-géométrie par clôture avec échange et fournit une théorie de la dimension et une rigidité simplifiant la classification dans le contexte à un tri.