Propiedad de un conjunto definible (o de una teoría completa vista por su tipo de base) según la cual todo subconjunto definible (con parámetros) es o bien finito o bien cofinito en el dominio ambiente; equivalentemente, los únicos subconjuntos infinitos definibles coinciden con el dominio entero, proporcionando una geometría mínima canónica en el dominio.

Principio

Imponer la indivisibilidad máxima sobre los subconjuntos definibles: no existen subestructuras infinitas definibles intermedias, de modo que la combinatoria definible se reduce a excepciones finitas y al conjunto completo.

Demostración

La teoría de un solo tipo de un campo algebraicamente cerrado, considerada sobre su conjunto subyacente en el lenguaje de anillos, ilustra la minimalidad fuerte: una ecuación polinómica en una variable define bien un conjunto finito (las raíces) o, si se satisface como identidad, todo el campo; así, todo subconjunto definible del campo es, con parámetros, finito o cofinito.

Aplicación incorrecta

Tratar como minimalidad fuerte cualquier estructura aparentemente «mínima» sin comprobar la definibilidad con parámetros, o asumir que la minimalidad fuerte se conserva bajo reductos o expansiones arbitrarias del lenguaje.

Consecuencia

La minimalidad fuerte genera una pregéometría (un operador de cierre que satisface intercambio), una noción de dimensión bien definida (rango de Morley 1) y consecuencias estructurales potentes como la eliminación de ciertos imaginarios y un control estricto de la dependencia algebraica entre elementos.

Inversión

La situación inversa es un dominio definible altamente divisible: existen muchos subconjuntos definibles infinitos propios (por ejemplo, un orden lineal denso sin extremos), produciendo rica definibilidad combinatoria en vez de la dicotomía de dos casos.

Límite

Se aplica a un conjunto definible o a una teoría completa mediante su tipo de base en lógica de primer orden; no afirma nada sobre familias definibles en otros tipos salvo que la propiedad sea verificada allí, y presupone la noción habitual de definibilidad con parámetros en primer orden.

Tensión semántica

La minimalidad fuerte compite con nociones de estabilidad como la ω-estabilidad: ambas restringen tipos y la complejidad definible, pero la minimalidad fuerte es una dicotomía geométrica local en un tipo mientras que la ω-estabilidad es una propiedad global de recuento de tipos.

Síntesis

La minimalidad fuerte resume una austeridad geométrica clara: cada subconjunto definible es o bien despreciable (finito) o bien coextensivo (cofinito), lo que fuerza una pregéometría por cierre con intercambio y proporciona teoría de dimensión y rigidez que simplifican la clasificación en el contexto de un solo tipo.