Un invariant entier naturel attaché à un ensemble définissable de rang de Morley fixé, qui compte le nombre de composantes définissables de rang maximal (à équivalence définissable près) apparaissant dans une partition canonique finie.

Principe

Si un ensemble définissable X a rang de Morley α, son degré de Morley d est le plus grand entier fini n tel que X se partitionne en n sous-ensembles définissables disjoints, chacun de rang de Morley α ; en d'autres termes, il mesure la multiplicité des composantes de rang α dans une décomposition canonique.

Démonstration

Dans un corps algébriquement clos, une variété algébrique décomposée en un nombre fini de composantes irréductibles de dimension de Zariski maximale a pour degré de Morley le nombre de ces composantes irréductibles de dimension maximale (quand les paramètres fixent la décomposition).

Mauvaise application

Utiliser le degré de Morley sans avoir d'abord fixé le rang de Morley, tenter de l'appliquer à des ensembles de rang infini, ou confondre le degré avec la multiplicité algébrique ou la cardinalité ; le traiter comme invariant sous tout changement de paramètre alors qu'il dépend de paramètres définissables.

Conséquence

Combiné avec le rang de Morley, le degré de Morley fournit une décomposition canonique fine des ensembles définissables en une union finie de pièces de rang maximal, permettant des arguments de comptage, la comparaison de familles définissables et des formulations d'unicité à équivalence finie près.

Inversion

Un ensemble de degré de Morley 1 présente une seule pièce de plus haut niveau et se comporte de façon plus « connexe » ; un degré de Morley plus élevé indique plusieurs composantes de premier plan et une forme de déconnectivité définissable.

Limite

Défini uniquement pour les ensembles définissables ayant un rang de Morley bien défini (généralement fini) ; absent ou peu informatif pour les ensembles de rang infini ou dans des théories instables où la théorie des rangs ne contrôle pas la structure.

Tension sémantique

Tension entre le degré de Morley et la multiplicité algébrique/géométrique : le degré compte les composantes définissables de rang maximal, non la multiplicité au sens des schémas ; il s'oppose aussi conceptuellement aux notions de connexité et d'irréductibilité en géométrie.

Synthèse

Le degré de Morley est le pendant numérique fini du rang de Morley qui compte combien de composantes définissables de rang maximal possèdent un ensemble, complétant la classification par rang en quantifiant la multiplicité des pièces maximales.