Ein natürlichzahliges Invariant, das einer definierbaren Menge mit festem Morley-Rang zugeordnet wird und die Anzahl der definierbaren Komponenten höchster Rangstufe (bis auf definierbare Äquivalenz) in einer kanonischen endlichen Zerlegung zählt.

Prinzip

Hat eine definierbare Menge X Morley-Rang α, so ist ihr Morley-Grad d die größte endliche Zahl n, sodass X in n disjunkte definierbare Teilmengen zerlegt werden kann, die jeweils Morley-Rang α haben; er misst also die Multiplizität der α-rangigen Komponenten in einer kanonischen Zerlegung.

Demonstration

In einem algebraisch abgeschlossenen Körper zerfällt eine algebraische Varietät in endlich viele irreduzible Komponenten maximaler Zariski-Dimension; der Morley-Grad entspricht dann der Anzahl jener maximaldimensionalen irreduziblen Komponenten (vorausgesetzt die Parameter fixieren die Zerlegung).

Fehlanwendung

Den Morley-Grad anzuwenden, ohne zuerst den Morley-Rang zu fixieren, ihn auf Mengen mit unendlichem Rang zu verwenden oder ihn mit algebraischer Multiplizität oder Kardinalität zu verwechseln; oder ihn als invarianten unter beliebigen Parameteränderungen zu behandeln, obwohl er von definierbaren Parametern abhängen kann.

Konsequenz

In Kombination mit dem Morley-Rang liefert der Morley-Grad eine feine kanonische Zerlegung definierbarer Mengen in eine endliche Vereinigung von Komponenten höchster Rangstufe, ermöglicht Zählargumente, den Vergleich definierbarer Familien und Formulierungen von Eindeutigkeit bis auf endliche Äquivalenz.

Umkehrung

Eine Menge mit Morley-Grad 1 zeigt eine einzige höchstrangige Komponente und verhält sich 'zusammenhängender'; ein höherer Morley-Grad signalisiert mehrere Spitzenkomponenten und eine Art definierbare Zerlegtheit.

Abgrenzung

Definiert nur für definierbare Mengen mit wohlbestimmtem (typischerweise endlichem) Morley-Rang; fehlt oder ist wenig aussagekräftig für Mengen mit unendlichem Rang oder in instabilen Theorien, in denen die Rangtheorie keine Kontrolle über die Struktur bietet.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Morley-Grad und algebraischer/geometrischer Multiplizität: Der Grad zählt definierbare Komponenten höchster Rangstufe, nicht die schematheoretische Multiplizität; er steht auch konzeptionell im Gegensatz zu Begriffen wie Zusammenhang und Irreduzibilität in der Geometrie.

Synthese

Der Morley-Grad ist die endliche numerische Ergänzung zum Morley-Rang, die angibt, wie viele definierbare Komponenten höchster Rangstufe eine Menge besitzt, und ergänzt die rangbasierte Klassifikation durch Quantifizierung der Multiplizität maximaler Teile.