Un rang à valeurs ordinales attribué à un ensemble définissable dans une théorie complète du premier ordre, mesurant sa complexité méta-modèle par induction transfinie ; utilisé pour classer et analyser les théories stables.

Principe

Défini par induction transfinie : RM(X) ≥ 0 si et seulement si X ≠ ∅ ; RM(X) ≥ α+1 si X peut être partitionné en une infinité de sous-ensembles définissables deux à deux disjoints de rang ≥ α ; pour un ordinal limite λ, RM(X) ≥ λ si RM(X) ≥ α pour tout α < λ.

Démonstration

Dans un corps algébriquement clos, les ensembles fermés de Zariski ont un rang de Morley fini égal à leur dimension de Zariski : un ensemble fini a rang 0, une courbe irréductible a rang 1, et les produits cartésiens additionnent les rangs, si bien que le rang de Morley reflète la dimension géométrique dans cette théorie ω-stable.

Mauvaise application

Appliquer le rang de Morley à des ensembles non définissables, à des théories incomplètes sans fixer de paramètres, ou supposer qu'il est toujours un ordinal fini dans des théories instables ; confondre le rang avec la cardinalité brute ou avec le degré de Morley.

Conséquence

Bien appliqué aux ensembles définissables d'une théorie complète, le rang de Morley fournit une stratification des ensembles définissables en niveaux bien comportés, détecte l'ω-stabilité lorsque tous les ensembles définissables ont un rang fini, et permet des décompositions canoniques utiles en théorie de la classification.

Inversion

Inverser la notion conduit à considérer les ensembles de rang minimal (rang 0) versus les ensembles de rang élevé ou infini ; un rang de Morley bas indique rigidité et modération, un rang élevé ou infini signe une complexité combinatoire ou une instabilité.

Limite

Pertinent uniquement pour les ensembles (ou types) définissables en logique du premier ordre et mieux adapté aux théories complètes et stables ; dans de nombreux contextes instables ou incomplets le rang est infini, non défini ou peu informatif.

Tension sémantique

Tension entre le rang de Morley, invariant combinatoire et transfini, et les notions géométriques de dimension (par ex. dimension de Krull/Zariski) ; concurrence également avec des rangs plus fins (U-rank, rang de Lascar) qui captent le forking ou les variations de types forts.

Synthèse

Le rang de Morley est un invariant ordinal, défini par induction transfinie pour les ensembles définissables dans une théorie complète du premier ordre, qui abstrait la dimension géométrique en un outil de classification de la stabilité et d'organisation de la structure définissable.