Une suite exacte longue en homologie (ou cohomologie) reliant les groupes d'homologie d'un espace topologique décomposé en l'union de deux sous-espaces U et V aux homologies de U, V et de leur intersection U∩V au moyen d'homomorphismes de liaison.

Principe

La décomposition d'un espace en deux morceaux chevauchants donne l'exactitude de Mayer-Vietoris : l'impossibilité de séparer des cycles dans l'union est mesurée par les applications provenant de l'intersection, et des homomorphismes de connexion lient ces mesures entre degrés pour produire une suite exacte longue.

Démonstration

On calcule l'homologie de la sphère S^n en écrivant S^n comme l'union de deux hémisphères U et V, chacun contractile, dont l'intersection est homotopiquement équivalente à S^{n-1}. La suite de Mayer-Vietoris permet alors d'obtenir H_k(S^n) à partir des homologies connues de U, V et U∩V, retrouvant le résultat classique H_n(S^n)≅Z et l'annulation des autres homologies réduites.

Mauvaise application

Employer Mayer-Vietoris pour des recouvrements arbitraires sans vérifier les hypothèses d'excision, ou l'utiliser pour des décompositions non binaires sans corriger signes et indices, conduit à des erreurs de recollement ; ignorer la distinction homologie réduite/non réduite entraîne aussi des erreurs.

Conséquence

Outil inductif et de calcul pour déterminer l'homologie/cohomologie d'espaces complexes à partir de morceaux plus simples, et pour détecter les cycles non triviaux supportés sur le chevauchement.

Inversion

Si les applications de U et V vers l'union sont des isomorphismes dans un intervalle de degrés, la suite de Mayer-Vietoris s'effondre et fournit des isomorphismes entre les homologies des morceaux et celle de l'union ; inversement, des homomorphismes de connexion non triviaux signalent des classes qui ne se localisent pas dans un seul morceau.

Limite

S'applique lorsque U et V forment un recouvrement ouvert approprié (ou excisable), ou plus généralement lorsque les inclusions satisfont les hypothèses d'excision ; ce n'est pas un outil universel pour des recouvrements infinis ou des décompositions dépourvues des hypothèses topologiques nécessaires.

Tension sémantique

En tension avec les techniques de suites spectrales et la cohomologie de Čech : Mayer-Vietoris est élémentaire et concret pour les décompositions en deux morceaux, tandis que les suites spectrales traitent des filtrations à plusieurs étapes mais avec un formalisme plus lourd.

Synthèse

Mayer-Vietoris encapsule la manière dont l'information homologique de deux sous-espaces chevauchants et de leur intersection s'assemble pour former l'homologie de l'ensemble via une suite exacte longue d'applications et d'homomorphismes de connexion, permettant calcul et détection de classes globales à partir de données locales.