Una sucesión exacta larga en homología (o cohomología) que relaciona los grupos de homología de un espacio topológico descompuesto como la unión de dos subespacios U y V con la homología de U, V y su intersección U∩V mediante homomorfismos de conexión.

Principio

Descomponer un espacio en dos piezas solapadas produce la exactitud de Mayer-Vietoris: la imposibilidad de separar ciclos en la unión se mide por las aplicaciones procedentes de la intersección, y los homomorfismos de conexión enlazan estas mediciones a través de los grados para generar una sucesión exacta larga.

Demostración

Se calcula la homología de la esfera S^n escribiéndola como la unión de dos hemisferios U y V, ambos contractiles, cuya intersección es homotópicamente equivalente a S^{n-1}. La sucesión de Mayer-Vietoris da H_k(S^n) a partir de las homologías conocidas de U, V y U∩V, recuperando que H_n(S^n)≅Z y que las demás homologías reducidas se anulan.

Aplicación incorrecta

Usar Mayer-Vietoris en coberturas arbitrarias sin comprobar hipótesis de excisión, o aplicarlo a descomposiciones no binarias sin ajustar signos e índices, puede resultar en un pegado incorrecto; asimismo, ignorar homología reducida frente a no reducida provoca errores.

Consecuencia

Provee una herramienta inductiva y computacional para calcular homología/cohomología de espacios complejos a partir de piezas más simples y para detectar ciclos globales que se sostienen en el solapamiento.

Inversión

Si las inclusiones de U y V en la unión son isomorfismos en un intervalo de grados, la sucesión de Mayer-Vietoris colapsa y produce isomorfismos entre las homologías de las piezas y la de la unión; en sentido inverso, homomorfismos de conexión no triviales indican clases que no se localizan en una sola pieza.

Límite

Se aplica cuando U y V forman una cobertura abierta adecuada (o excisible), o más generalmente cuando las inclusiones satisfacen las hipótesis de excisión; no es un instrumento de uso directo para coberturas infinitas arbitrarias o descomposiciones que no cumplan las condiciones topológicas requeridas.

Tensión semántica

Compite con técnicas de sucesiones espectrales y cohomología de Čech; Mayer-Vietoris es elemental y práctico para descomposiciones en dos piezas, mientras que las sucesiones espectrales tratan filtraciones multietapa con mayor formalismo.

Síntesis

Mayer-Vietoris encapsula cómo la información homológica de dos subespacios solapados y de su intersección se compone para dar la homología del conjunto mediante una sucesión exacta larga de mapas y homomorfismos de conexión, facilitando el cálculo y la detección de clases globales a partir de datos locales.