Théorème élémentaire de la théorie des nombres qui affirme que pour un nombre premier p et un entier a tel que p ne divise pas a, on a a^{p-1} ≡ 1 (mod p) ; équivalemment a^p ≡ a (mod p) pour tout entier a.

Principe

Le groupe multiplicatif des classes modulo un premier p est d'ordre p−1, donc tout élément a inversible modulo p a un ordre divisant p−1, ce qui entraîne la congruence a^{p-1} ≡ 1 (mod p).

Démonstration

Par exemple pour a=2 et p=7, 2^6 = 64 ≡ 1 (mod 7). Une preuve par groupes utilise que {1,a,a^2,...,a^{p-2}} permute les classes résiduelles non nulles modulo p ; en multipliant on obtient a^{p-1} ≡ 1.

Mauvaise application

Utiliser la congruence comme test de primalité biconditionnel : des nombres composés peuvent satisfaire a^{n-1} ≡ 1 (mod n) pour certains a (pseudopremiers de Carmichael), et le théorème échoue si gcd(a,p) ≠ 1.

Conséquence

Base de nombreux raisonnements en arithmétique modulaire, de tests et algorithmes simples de primalité, et se généralise au théorème d'Euler pour modules composés via la fonction indicatrice d'Euler φ.

Inversion

La conséquence naïve « si a^{n-1} ≡ 1 (mod n) pour beaucoup de a alors n est premier » est fausse ; la réciproque correcte est que l'échec de la congruence pour un a certifie la compositeness, tandis que la réussite ne garantit pas la primalité.

Limite

Exige que p soit premier et gcd(a,p)=1 pour la formulation a^{p-1} ≡ 1 ; la variante a^p ≡ a vaut pour tout a modulo p. Ne s'applique pas aux modules composés sans remplacer p−1 par φ(n).

Tension sémantique

Souvent confondu avec le théorème d'Euler et avec des tests probabilistes de primalité ; tension entre la congruence déterministe et l'existence de pseudopremiers qui imitent le comportement des nombres premiers pour plusieurs bases.

Synthèse

Le Petit Théorème de Fermat relie la structure algébrique des résidus multiplicatifs modulo un premier à des congruences simples : les résidus inversibles ont un ordre divisant p−1, d'où a^{p-1} ≡ 1 (mod p) et des applications puissantes en théorie des nombres.