Teorema elemental de teoría de números que afirma que para un primo p y un entero a con p no dividiendo a se tiene a^{p-1} ≡ 1 (mod p); equivalentemente a^p ≡ a (mod p) para todo entero a.

Principio

El grupo multiplicativo de unidades módulo un primo p tiene orden p−1, así que cualquier elemento a con gcd(a,p)=1 tiene orden que divide p−1, produciendo la congruencia a^{p-1} ≡ 1 (mod p).

Demostración

Ejemplo: a=2, p=7 da 2^6 = 64 ≡ 1 (mod 7). Una prueba grupal usa que {1,a,a^2,...,a^{p-2}} permuta las clases residuales no nulas modulo p; al multiplicar se obtiene a^{p-1} ≡ 1.

Aplicación incorrecta

Usar la congruencia como prueba de primalidad bicondicional: números compuestos pueden satisfacer a^{n-1} ≡ 1 (mod n) para ciertas bases (números de Carmichael o pseudoprimos), y el teorema falla si gcd(a,p) ≠ 1.

Consecuencia

Base de muchos argumentos en aritmética modular, tests de primalidad y algoritmos simples, y se generaliza al teorema de Euler para módulos compuestos mediante φ(n).

Inversión

La recíproca ingenua 'si a^{n-1} ≡ 1 (mod n) para muchas a entonces n es primo' es falsa; la inversión correcta es que si la congruencia falla para algún a se certifica la compositeness, pero pasarla no garantiza primalidad.

Límite

Requiere que p sea primo y gcd(a,p)=1 para la formulación a^{p-1} ≡ 1; la variante a^p ≡ a vale para todo a módulo p. No se aplica a módulos compuestos sin reemplazar p−1 por φ(n).

Tensión semántica

A menudo se confunde con el teorema de Euler y con tests probabilísticos de primalidad; hay tensión entre la congruencia determinista y la existencia de pseudoprimos que imitan el comportamiento primo para muchas bases.

Síntesis

El Pequeño Teorema de Fermat conecta la estructura algebraica de los residuos multiplicativos módulo un primo con congruencias simples: las unidades tienen orden que divide p−1, de donde a^{p-1} ≡ 1 (mod p) y derivan numerosas aplicaciones en teoría de números.