Énoncé selon lequel tout ensemble peut être muni d'un ordre bien fondé : il existe une relation binaire sur l'ensemble qui est un ordre total et telle que tout sous-ensemble non vide possède un plus petit élément.

Principe

Ordonnancement global via le choix : l'existence d'un bien-ordre pour un ensemble quelconque découle de la possibilité d'effectuer une suite de choix sélectionnant des éléments minimaux ; dans ZF cette assertion est équivalente à l'Axiome du Choix et au Lemme de Zorn.

Démonstration

Pour les ensembles finis et les entiers naturels l'ordre bien fondé est explicite ; pour des ensembles arbitraires le théorème garantit un bien-ordre mais de façon typiquement non constructive — par exemple il implique l'existence d'un bien-ordre des réels même si aucun ordre définissable explicite n'est fourni en ZF seul.

Mauvaise application

Supposer que le théorème fournit un ordre constructif ou canonique pour des ensembles quelconques, ou attendre que le bien-ordre soit compatible avec d'autres structures (topologie, algèbre) sans précisions supplémentaires.

Conséquence

Permet l'induction et la récurrence transfinies sur tout ensemble, fournit des types d'ordinaux canoniques pour les cardinaux et conduit à des résultats de comparabilité des cardinalités ; il est central pour l'arithmétique des ordinaux et des cardinaux.

Inversion

Le rejet de l'Axiome du Choix admet des modèles de la théorie des ensembles où certains ensembles ne sont pas bien ordonnables ; la négation souligne que la bien-ordonnabilité n'est pas démontrable en ZF sans le choix.

Limite

S'applique aux ensembles dans le cadre ZF/ZFC ; il ne fournit pas de construction explicite en général et n'impose pas l'unicité du bien-ordre (de nombreux bien-ordres non isomorphes peuvent exister).

Tension sémantique

Équivalent dans ZF au Lemme de Zorn et à l'Axiome du Choix mais conceptuellement différent : il affirme l'existence d'un ordre total avec éléments minimaux, ce qui peut entrer en tension avec des exigences de constructivité ou avec des structures supplémentaires comme la topologie.

Synthèse

Le Théorème Du Bon Ordre affirme que tout ensemble admet un ordre total dont chaque sous-ensemble non vide possède un plus petit élément, rendant possibles des raisonnements indexés par des ordinaux et manifestant les principes de choix sous forme d'ordres.