Die Aussage, dass jede Menge mit einer Wohlordnung versehen werden kann, das heißt, es gibt eine binäre Relation, die eine totale Ordnung ist und auf der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt.

Prinzip

Globales Ordnen durch Wahl: Das Vorhandensein einer Wohlordnung für jede Menge folgt aus der Fähigkeit, sukzessive Auswahlentscheidungen zu treffen; in ZF ist diese Aussage äquivalent zum Auswahlaxiom und zu Zorns Lemma.

Demonstration

Für endliche Mengen und die natürlichen Zahlen ist die Wohlordnung explizit vorhanden; für beliebige Mengen garantiert der Satz eine Wohlordnung meist nichtkonstruktiv — er impliziert beispielsweise, dass die reellen Zahlen wohlgeordnet werden können, obwohl in ZF allein keine explizite definierbare Ordnung gegeben sein muss.

Fehlanwendung

Anzunehmen, der Satz liefere für beliebige Mengen eine konstruktive oder kanonische Ordnung, oder zu erwarten, dass die Wohlordnung ohne weitere Angaben mit anderer Struktur (Topologie, Algebra) verträglich ist.

Konsequenz

Ermöglicht transfinites Schließen und Rekursion auf jeder Menge, liefert ordinale Typen für Kardinale und führt zu Vergleichsergebnissen von Mächtigkeiten; zentral für Ordinal- und Kardinalrechnung.

Umkehrung

Die Ablehnung des Auswahlaxioms erlaubt Modelle der Mengentheorie, in denen einige Mengen nicht wohlgeordnet sind; die Verneinung betont, dass Wohlordnungsfähigkeit in ZF ohne Wahl nicht beweisbar ist.

Abgrenzung

Gilt für Mengen im Rahmen von ZF/ZFC; liefert im Allgemeinen keine explizite Konstruktion und erzwingt keine Eindeutigkeit der Wohlordnung (viele nichtisomorphe Wohlordnungen können existieren).

Semantische Spannung

In ZF äquivalent zu Zorns Lemma und dem Auswahlaxiom, aber konzeptionell anders: es behauptet die Existenz einer totalen Ordnung mit kleinsten Elementen und kann im Spannungsverhältnis zu Konstruktivitätsanforderungen oder zusätzlicher Struktur stehen.

Synthese

Das Wohlordnungsprinzip besagt, dass jede Menge eine totale Ordnung besitzt, in der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element hat, wodurch ordinale Indizes und wahlartige globale Auswahlprinzipien im Gewand von Ordnungen verfügbar werden.